Subfakultät

Die Subfakultät einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n\geq 0}$  wird mit Hilfe der Fakultät durch

${\displaystyle {!}n=n!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}=n!\cdot \left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +(-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)}$ 

definiert. Die Subfakultät ${\displaystyle {!}n}$  entspricht der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen (Derangements) einer ${\displaystyle n}$ -elementigen Menge, während die Fakultät ${\displaystyle n!}$  die Anzahl aller möglichen Permutationen angibt.

Angenommen, man hat sechs verschiedenfarbige Kugeln, und zu jeder Kugel ein Kästchen in der passenden Farbe. Zu bestimmen ist die Anzahl der Möglichkeiten, die Kugeln so auf die Kästchen zu verteilen, dass jedes Kästchen genau eine andersfarbige Kugel enthält. Dafür gibt es genau

${\displaystyle {!}6=6!\cdot \left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}-{\frac {1}{5!}}+{\frac {1}{6!}}\right)=265}$ 

Möglichkeiten.

Es gilt

${\displaystyle {!}n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e}}}$ 

mit der eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$  und der unvollständigen Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ . Eine sehr gute Näherung ist

${\displaystyle {!}n\approx {\frac {n!}{e}}}$ .

Gerundet erhält man für ${\displaystyle n\geq 1}$  sogar die exakte Formel

${\displaystyle {!}n=\left[{\frac {n!}{e}}\right]}$ ,

wobei ${\displaystyle \left[x\right]}$  die ${\displaystyle x}$  nächstliegende ganze Zahl bezeichnet. Wird in der letzten Formel vor der Division noch die Zahl Eins addiert, so erspart man sich die Unterscheidung, ob ab- oder aufgerundet werden muss. Stattdessen schneidet man den Nachkommateil einfach ab (siehe Gaußklammer) und man erhält für ${\displaystyle n\geq 1}$ :^[1]

${\displaystyle {!}n=\left\lfloor {\frac {n!+1}{e}}\right\rfloor }$ .

Die Subfakultät lässt sich auch über die beiden Formeln

${\displaystyle {!}n=n\cdot {!}(n-1)+(-1)^{n}}$ 

und

${\displaystyle {!}n=(n-1)\cdot ({!}(n-1)+{!}(n-2))}$ 

rekursiv berechnen. Der Term ${\displaystyle {!}(n-1)+{!}(n-2)}$  entspricht dabei der Anzahl der fixpunktfreien Permutationen einer ${\displaystyle n}$ -elementigen Menge, bei denen ein Element fest vorgegeben ist (Folge A000255 in OEIS).

Die folgende Integraldarstellung verallgemeinert die Subfakultät um ihren Definitionsbereich von den natürlichen bis hin zu den komplexen Zahlen:

${\displaystyle {!}z=\int _{0}^{\infty }\mathrm {e} ^{-t}(t-1)^{z}dt}$ .

Hierbei ist ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$  mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (z)>-1}$ .

Die einzige subfakultative narzisstische Zahl, also die einzige Zahl, die gleich der Summe ihrer der Subfakultät unterzogenen (dezimalen) Ziffern ist, lautet^[2]

${\displaystyle 148349={!}1+{!}4+{!}8+{!}3+{!}4+{!}9}$ .

In anderen Zahlensystemen ist dies u. a. bei 9 der Fall:

${\displaystyle 9=1\cdot 5+4={!}1+{!}4=0+9}$ 

Insbesondere ist 5 die kleinste Basis, zu der eine Zahl mit dieser Eigenschaft existiert.

1. ↑ Mehdi Hassani: Derangements and Applications. In: Journal of Integer Sequences. Vol. 6, Article 03.1.2, 2003 (emis.de). 
2. ↑ Joseph S. Madachy: Madachy's Mathematical Recreations. Dover, New York NY 1979, ISBN 0-486-23762-1, S. 167. 

• Eric W. Weisstein: Subfakultät. In: MathWorld (englisch).
• Folge A000166 in OEIS