„Zustand (Quantenmechanik)“ – Versionsunterschied

Ein quantenmechanischer Zustand ist die quantenmechanische Beschreibung des physikalischen Zustands eines Systems. Da sich die an quantenmechanischen Systemen gemachten Beobachtungen nicht mit einer Beschreibung des Zustands im Rahmen der klassischen Physik erfassen lassen, ist sie grundlegend verschieden von dieser. Zu den verschiedenen Interpretationen der Quantenmechanik gehören unterschiedliche Zustandsbegriffe. Dieser Artikel behandelt den Zustandsbegriff der weit verbreiteten Kopenhagener Interpretation.

Der Zustand in der Kopenhagener Interpretation der Quantenmechanik legt nicht für jede am System durchgeführte Messung den mit Sicherheit zu erwartenden Messwert fest, sondern nur für jeden möglichen Messwert die Wahrscheinlichkeit, dass gerade dieser Wert eintritt. Ebenfalls im Gegensatz zum klassischen Zustand ist beim quantenmechanischen Zustand die Zeitentwicklung nicht durchgehend deterministisch festgelegt. Stattdessen wird im Allgemeinen durch eine Messung der Zustand des Systems auf eine Weise verändert, die nicht genau vorhersagbar ist.

Die Präparation eines Systems in einem bestimmten Zustand erfolgt durch die gleichzeitige Messung eines maximalen Satzes kommensurabler physikalischer Größen.^[1] Nach dieser Messung befindet sich das System in einem wohldefinierten gemeinsamen Eigenzustand, in dem alle diese Messgrößen bestimmte Werte besitzen. Wenn das System nicht schon vorher in einem solchen gemeinsamen Eigenzustand war, verursacht die Messung schlagartig eine Zustandsreduktion, auch Kollaps genannt, sodass danach alle anderen möglichen Messwerte dieser Größen die Wahrscheinlichkeit Null haben. Zwischen zwei Messungen ist die Zeitentwicklung des Zustands durch eine Bewegungsgleichung deterministisch festgelegt (siehe Schrödinger-Gleichung, Klein-Gordon-Gleichung, Dirac-Gleichung).

Mathematisch wird der quantenmechanische Zustand meist durch einen normierten Zustandsvektor im Hilbertraum beschrieben. Mithilfe einer Basis des Hilbertraums mit diskretem Index kann dieser Zustandsvektor als Linearkombination der Basisvektoren geschrieben werden, oder bei einer Basis mit kontinuierlichem Index als Wellenfunktion. Zu jedem der möglichen Messwerte einer physikalischen Größe besitzt der Zustandsvektor mindestens eine Komponente. Die Stärke (auch Amplitude genannt) einer Komponente bestimmt die Wahrscheinlichkeit, mit der der betreffende Messwert als Ergebnis einer Messung auftritt. Die Zuordnung von Zustand und Zustandsvektor ist nicht umkehrbar eindeutig, denn Zustandsvektoren, die sich nur durch einen konstanten komplexen Phasenfaktor unterscheiden, beschreiben denselben physikalischen Zustand. Auch die Linearkombination mit einem Zustandsvektor eines anderen Zustands ist ein möglicher Zustandsvektor; er beschreibt einen von den beiden überlagerten Zuständen physikalisch verschiedenen Zustand, wobei es auch auf die relative komplexe Phase der beiden überlagerten Zustandsvektoren ankommt. Die theoretischen Grundlagen der Beschreibung als Linearkombination wurden 1925 von Werner Heisenberg in der Matrizenmechanik entwickelt, die als Wellenfunktion 1926 in der Orts- oder Impulsbasis von Erwin Schrödinger in der Wellenmechanik. Die genauen mathematischen Bedingungen für die Verträglichkeit beider Beschreibungen wurden 1931 von John von Neumann ausgearbeitet.

Bei unvollständiger Präparation eines Anfangszustands oder in der Quantenstatistik wird zwischen reinen und gemischten Zuständen unterschieden. Zu deren Beschreibung muss der Zustandsvektor zur Dichteoperator (auch Zustandsoperator genannt) erweitert werden. Dieser Formalismus vermeidet auch die eben genannte Unbestimmtheit der komplexen Phase, erschwert aber die manchmal für die Anschauung hilfreiche Vorstellung einer Wellenfunktion.

Die Einführung von Wahrscheinlichkeiten verschiedener Ergebnisse anstelle einer eindeutigen Voraussage bedeutet eine grundsätzliche Abkehr von der klassischen Physik. Dort ist nämlich mit der Angabe des momentanen Systemzustands das Ergebnis jeder möglichen Messung eindeutig festgelegt (immer fehlerfreie Messung vorausgesetzt). Dies trifft für makroskopische Systeme (z. B. aus dem Alltag) im Allgemeinen sehr gut zu. Beispielsweise lässt sich einer Schrotkugel oder einem Sandkorn in jedem Moment mit praktisch eindeutiger Genauigkeit ein bestimmter Ort und eine bestimmte Geschwindigkeit zuschreiben.

Für immer kleinere Systeme wird es jedoch zunehmend falsch, für ein Ensemble quantenmechanischer Teilchen^[2] ist es ausgeschlossen. Die streng gültige Heisenbergsche Unschärferelation von 1927 besagt nämlich: liegt der Aufenthaltsort eindeutig fest, dann kann eine Messung der Geschwindigkeit mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden beliebigen Wert ergeben, und umgekehrt; d. h. zu jeder Zeit kann nur eine der beiden Größen eindeutig bestimmt werden. Diese Unbestimmtheit lässt sich durch präziseste Präparierung des Systemzustands nicht beseitigen. Sie ist mathematisch rigoros, relativ einfach zu beweisen^[3] und eine zentrale begriffliche Grundlage der Physik.

Zusätzliche Unsicherheit über das zu erwartende Messergebnis entsteht, wenn der Zustand des Systems nicht eindeutig festgelegt ist. Das gilt z. B. für den häufigen Fall, dass das beobachtete System aus einer Anzahl gleichartiger Systeme herausgegriffen wird, die nicht alle im selben Zustand präpariert sind. Die unterschiedlichen Zustände, in denen sich das beobachtete System (mit möglicherweise unterschiedlicher Wahrscheinlichkeit) befinden kann, bilden dann ein Zustandsgemisch.

Hier ließe sich die Unsicherheit über die zu erwartenden Messergebnisse verringern, indem nur Systeme im selben Zustand zur Messung ausgewählt werden. Zur Verdeutlichung des Unterschieds zum Zustandsgemisch wird ein eindeutig präparierter Zustand gelegentlich auch als reiner Zustand bezeichnet.

Im Folgenden bedeutet Zustand hier immer reiner Zustand.

Ein Zustand, in dem für eine bestimmte Messgröße der zu erwartende Messwert eindeutig festliegt, heißt Eigenzustand zu dieser Messgröße. Beispiele sind

1. das an einem Ort lokalisierte Teilchen (Ortseigenzustand)
2. das Teilchen mit einer bestimmten Geschwindigkeit oder Impuls (Impulseigenzustand)
3. das Teilchen in einem gebundenen Zustand bestimmter Energie (Energieeigenzustand).^[4]

Die Beispiele 1 und 2 sind streng genommen (wegen einer mathematischen Subtilität: des Vorliegens eines „kontinuierlichen Spektrums“) nur im Grenzfall zulässig (beim Beispiel 2 etwa im „monochromatischen Grenzfall“ eines Wellenpakets, während das Beispiel 1 daraus durch eine Fouriertransformation erhalten wird). Beide Beispiele spielen eine bedeutende Rolle in der theoretischen Beschreibung.

Beispiel 3 ist ein Zustand, in dem eine physikalische Größe (nämlich die Energie) einen bestimmten Wert hat, während sowohl für den Ort als auch für den Impuls nur Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Messergebnisse angegeben werden können (für den Ort z. B. durch das Orbital, für den Impuls durch das Betragsquadrat der Fouriertransformierten der betreffenden Ortswellenfunktion).

Für ein (potentiell punktförmiges) Teilchen ist in der klassischen Mechanik der Zustand durch den Ort und den Impuls des Teilchens gegeben, also durch einen Punkt im sechsdimensionalen Phasenraum. Da an Strahlen solcher Teilchen aber auch Interferenzeffekte beobachtet werden (Welle-Teilchen-Dualismus), muss auch die Möglichkeit, dass die Superposition (oder Überlagerung, Linearkombination mit komplexen Faktoren) mehrerer Zustände einen möglichen Zustand bildet, zugelassen werden (siehe Materiewellen). Jeder Zustand, für den zu einer bestimmten Messgröße verschiedene Messwerte mit je eigenen Wahrscheinlichkeiten vorausgesagt werden, ist eine Superposition der zu diesen Messwerten gehörigen Eigenzustände. Die Wahrscheinlichkeit, einen bestimmten dieser Eigenwerte als Messergebnis zu erhalten, ist durch das Betragsquadrat des (im Allgemeinen komplexen) Faktors festgelegt, mit dem der betreffende Eigenzustand in dieser Überlagerung vorkommt. Dieser Faktor wird als Wahrscheinlichkeitsamplitude bezeichnet.

Es gibt keinen prinzipiellen Unterschied zwischen Superpositionszuständen und den Basis- oder Eigenzuständen: Für ein gegebenes System kann vielmehr jeder Zustand mit jedem anderen überlagert werden, und jeder Zustand kann als Überlagerung anderer Zustände dargestellt werden. Die superponierten Zustände sind also auch reine Zustände im obigen Sinn. Zustände, die durch Superposition gebildet werden, werden gelegentlich ungenau als gemischte Zustände angesprochen, was aber vermieden werden sollte, weil Verwechslungen mit dem Begriff Zustandsgemisch auftreten könnten.

Die Menge möglicher Zustände des Phasenraums, der durch die Möglichkeit der Superposition erweitert wird, ist erheblich mächtiger als der Phasenraum der klassischen Mechanik, der dem betrachteten System entsprechen würde. Als Maß dieses erweiterten Raumes gilt in der statistischen Quantenphysik aber nicht die Größe dieser Menge selbst, sondern ihre Dimension;^[5] das ist die Zahl der Zustände in der kleinstmöglichen Teilmenge, so dass sich daraus durch Superposition alle überhaupt möglichen Zustände des Systems ergeben können. Da sich innerhalb dieser Auswahl keiner der Zustände als Superposition der anderen darstellen lässt, sind sie linear unabhängig und bilden eine Basis des ganzen Phasenraums.

Im Vergleich mit der Zustandsdichte in der klassischen statistischen Physik zeigt sich, dass jeder quantenmechanische Zustand einer solchen Basis das „Phasenraumvolumen“ ${\displaystyle 2\pi \hbar =h}$ belegt, d. h. gerade das Plancksche Wirkungsquantum. Die physikalische Dimension dieses „Volumens“ ist die einer Wirkung = Energie mal Zeit, oder = Ort mal Impuls.

Im mathematischen Formalismus der Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie ist ein Zustand ein abstraktes mathematisches Objekt. Der Bezug eines Zustandes zur realen Welt wird durch spezielle Darstellungen, beispielsweise in Ortskoordinaten oder Impulskoordinaten, repräsentiert. Mathematisch strikt ist ein Zustand ${\displaystyle \psi }$ ein lineares Funktional auf der C*-Algebra der Observablen, das von der C*-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ auf die komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ operiert, für das gilt: ${\displaystyle \psi (AA^{*})\geq 0\forall x\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \psi (1)=1}$, wobei auf der linken Seite die ${\displaystyle 1}$ im Argument des Funktionals das Einselement der Algebra ist und auf der rechten Seite die Eins der komplexen Zahlen.^[6]

Die Menge dieser Zustände ist eine konvexe Menge, das heißt, wenn ${\displaystyle \psi }$ und ${\displaystyle \phi }$ Zustände sind und ${\displaystyle a\leq 1}$, dann ist auch ${\displaystyle a\psi +(1-a)\phi }$ ein Zustand. Ein Zustand heißt rein, wenn er sich nur trivial zerlegen lässt, das heißt, wenn ${\displaystyle a=0}$ oder ${\displaystyle a=1}$ ist. Diese reinen Zustände sind genau die Extremalpunkte dieser Menge; jeder gemischte Zustand kann als Integral über reine Zustände geschrieben werden.

Jedem Zustand kann mittels der GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\displaystyle \pi :{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}({\mathcal {H}})}$ zugeordnet werden. Jeder normierte Vektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ im Hilbertraum, ${\displaystyle {\big \|}|\psi \rangle {\big \|}=1}$, entspricht einem Zustand ${\displaystyle \psi }$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und umgekehrt kann jedem Zustand ein Vektor zugeordnet werden. Es gilt

${\displaystyle \psi (a)\ \Leftrightarrow \ \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle }$

wobei ${\displaystyle \langle \psi |\pi (a)\psi \rangle }$ das Skalarprodukt im Hilbertraum aus ${\displaystyle |\psi \rangle }$ und ${\displaystyle |\pi (a)\psi \rangle }$ bezeichnet. Die reinen Zustände bilden die irreduziblen Darstellungen im Hilbertraum.

Für die mathematische Darstellung des oben physikalisch definierten Zustands eignen sich zwei Formen, die zueinander äquivalent sind:

• ein Zustandsvektor in einem abzählbar-unendlich-dimensionalen Vektorraum mit einem Skalarprodukt, der als Hilbertraum bezeichnet wird. Diese Darstellung geht zurück auf Werner Heisenberg^[7] und Paul Dirac^[8] und hat oft den Vorzug der übersichtlichen Darstellung in algebraischen Gleichungen. Ein Zustand wird hier als Vektor notiert, wofür sich nach Dirac das ket-Symbol ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ eingebürgert hat.
• eine Zustandsfunktion, z. B. die orts- und zeitabhängige Materiewelle. Ein Zustand wird hier als Wellenfunktion notiert, z. B. ${\displaystyle \psi (t,{\vec {r}})}$. Diese Darstellung geht auf Erwin Schrödinger zurück^[9] und ist oft leichter zu veranschaulichen.

Der Zustandsvektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ im Hilbertraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ ist, wie auch ein Ortsvektor ${\displaystyle {\vec {x}}}$, ein mathematisches, abstraktes Objekt. So wie der Ortsvektor in einer Basisdarstellung

${\displaystyle {\vec {x}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\left({\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {x}}\right)=\sum _{i=1}^{3}x_{i}{\vec {e}}_{i}}$

geschrieben werden kann, wobei ${\displaystyle {\vec {e}}_{i}}$ drei zueinander orthogonale Vektoren im dreidimensionalen Euklidischen Raum sind, kann der Zustandsvektor in jeder beliebigen vollständigen Orthonormalbasis entwickelt werden. Für diese Entwicklung ist es nötig, den Kovektor ${\displaystyle \langle \psi |}$ einzuführen, der als bra-Vektor im Dualraum zum Hilbertraum ansässig ist. Mathematisch betrachtet sind die bra-Vektoren ein lineares Funktional, das auf dem Hilbertraum in die komplexen Zahlen opereriert. Wie für Vektoren im Euklidischen Raum gilt analog als Entwicklung

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i=1}^{\infty }|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{\infty }c_{i}|\phi _{i}\rangle }$

mit ${\displaystyle c_{i}=\langle \phi _{i}|\psi \rangle \in \mathbb {C} }$. Da die Basisvektoren ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ eine Orthonormalbasis bilden, gilt

${\displaystyle \langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}}$

mit dem Kronecker-Delta ${\displaystyle \delta _{ij}}$ und

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|\phi _{i}\rangle \langle \phi _{i}|=I}$

mit der unendlichdimensionalen Einheitsmatrix ${\displaystyle I}$. Da in der Quantenmechanik – im Gegensatz zum Euklidischen Vektorraum – auch kontinuierliche Basen auftreten können, gilt für eine Entwicklung in einer kontinuierlichen Basis entsprechend

${\displaystyle \langle x|y\rangle =\delta (x-y)}$

mit der Dirac-Distribution ${\displaystyle \delta (x-y)}$ beziehungsweise

${\displaystyle \int \mathrm {d} x\,|x\rangle \langle x|=I}$.

Um nicht zwischen kontinuierlichen und diskreten Basen zu unterscheiden, wird teilweise das Symbol ${\displaystyle \textstyle \int \!\!\!\!\!\Sigma }$ verwendet.

Wenn der Zustandsvektor in einer Basis dargestellt wird, dann zumeist in der Eigenbasis eines hermiteschen Operators, der mit einer physikalischen Messgröße identifiziert wird. Die Eigenzustände eines solchen Operators werden häufig mit dem Formelzeichen der entsprechenden physikalischen Größe bezeichnet:

1. ${\displaystyle |x\rangle }$ bezeichnet den Ortseigenzustand eines Teilchens,
2. ${\displaystyle |p\rangle }$ den Impulseigenzustand,
3. ${\displaystyle |E\rangle }$ den Energieeigenzustand. Dabei kann ${\displaystyle E}$ sowohl diskrete Werte annehmen (z. B. bei gebundenen Zuständen) als auch kontinuierliche Werte (z. B. bei ungebundenen Zuständen).
4. Wird einem Eigenwert eine Quantenzahl zugeordnet (z. B. Quantenzahl ${\displaystyle n}$ für das ${\displaystyle n}$-te Energieniveau ${\displaystyle E_{n}}$, Quantenzahlen ${\displaystyle j,\,m}$ für Betrag und z-Komponente des Drehimpulses), so wird der zugehörige Eigenzustand angegeben durch Angabe der Quantenzahl(en) oder durch ein extra vereinbartes Symbol (Beispiele: ${\displaystyle |n\rangle ,|j,m\rangle ,|\uparrow \rangle }$).

Damit die Wellenfunktion nach der Bornschen Regel als Wahrscheinlichkeitsamplitude aufgefasst werden kann, ist es nötig, den Zustandsvektor zu normieren. Das heißt, für einen physikalischen Zustand muss

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}$

gelten. Allerdings legt dies den Vektor ${\displaystyle \vert \psi \rangle }$ nicht umkehrbar eindeutig fest, sondern nur bis auf einen konstanten Faktor: wenn ${\displaystyle \alpha }$ eine konstante komplexe Zahl mit Betrag Eins ist, bezeichnen alle Vektoren ${\displaystyle \alpha \vert \psi \rangle }$ denselben Zustand. Im Hilbertraum entspricht ein Zustand daher dem eindimensionalen Unterraum (Strahl), der von einem Zustandsvektor aufgespannt wird.

Die Wellenfunktionen ${\displaystyle \psi (x)}$ beziehungsweise ${\displaystyle \psi (p)}$ sind die Entwicklunkgskoeffizienten des Zustandsvektors in der Orts- beziehungsweise Impulsbasis:^[10]

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} x\,|x\rangle \langle x|\psi \rangle =\int \mathrm {d} x\,|x\rangle \psi (x)}$

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} p\,|p\rangle \langle p|\psi \rangle =\int \mathrm {d} p\,|p\rangle \psi (p)}$

Eine messbare physikalische Größe wird durch einen Operator dargestellt, der im Hilbertraum eine lineare Transformation bewirkt. Messgröße ${\displaystyle A}$ und zugehöriger Operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ werden zusammengefasst Observable genannt. Die möglichen Messergebnisse ${\displaystyle A_{i}}$ sind die Eigenwerte des Operators. Das heißt, es gilt für einen Eigenzustand ${\displaystyle |A_{i}\rangle }$ des Operators

${\displaystyle {\hat {A}}|A_{i}\rangle =A_{i}|A_{i}\rangle }$

Da alle möglichen Messergebnisse reelle Zahlen sind, muss der Operator hermitesch sein, d. h. folgende Bedingung erfüllen:

${\displaystyle \langle \phi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \phi \rangle ^{*}.}$

Für Messerergebnisse können bei einem Zustand, der nicht Eigenzustand des betreffenden Operators ist, nicht sichere Ergebnisse berechnet werden, sondern nur Wahrscheinlichkeiten. Diese Wahrscheinlichkeiten berechnen sich für jeden Eigenwert als Betragsquadrat aus dem Skalarprodukt des betreffenden Eigenvektors der Messgröße mit dem Zustandsvektor des Systems:

${\displaystyle P(A_{i})={\Big |}\langle A_{I}|\psi \rangle {\Big |}^{2}}$

Nach der Messung ist der Zustandsvektor auf den zum entsprechenden Eigenwert zugehörigen Unterraum kollabiert, das heißt

${\displaystyle |\psi \rangle _{\text{vor}}\to |\psi \rangle _{\text{nach}}=|A_{i}\rangle }$

Dadurch ist gleichzeitig das System im Eigenzustand ${\displaystyle |A_{i}\rangle }$ präpariert, denn nach dieser Messung liegt es genau in diesem Zustand vor. Eine instantan erfolgende erneute Messung dieser Observable ergibt daher sicher wieder denselben Wert.

Als Erwartungswert ${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle }$ wird der Mittelwert vieler Einzelmessungen der Observable an immer gleichen Systemen im selben Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ bezeichnet. Aus dem Spektrum aller möglicher Einzelergebnisse ${\displaystyle A_{i}}$ und ihren Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle P_{i}}$ ergibt sich:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\langle \psi \vert {\hat {A}}\vert \psi \rangle }$.

Linearkombinationen zweier Zustandsvektoren, also z. B. ${\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle }$, mit komplexen Zahlen ${\displaystyle c_{1},c_{2}}$ beschreiben ebenfalls erlaubte Zustände (s. o. Superposition von Zuständen). Hierbei ist, anders als bei einem einzelnen Zustandsvektor, die relative Phase der Faktoren, d. h. die komplexe Phase ${\displaystyle \phi }$ im Quotienten ${\displaystyle {\tfrac {c_{2}}{c_{1}}}=\vert {\tfrac {c_{2}}{c_{1}}}\vert e^{i\phi }}$, nicht mehr beliebig; je nach Phase hat der Überlagerungszustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ verschiedene physikalische Eigenschaften.^[11] Daher wird von kohärenter Superposition gesprochen, weil wie bei optischer Interferenz mit kohärentem Licht nicht die Betragsquadrate, sondern die „erzeugenden Amplituden“ selbst, also ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ und ${\displaystyle |\psi _{2}\rangle }$, superponiert werden.

Ein Zustandsgemisch, in dem sich das System mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p_{i}}$ im Zustand ${\displaystyle \psi _{i}}$ (mit ${\displaystyle i=1,2,\ldots ,\,n}$) befindet, wird durch den Dichteoperator ${\displaystyle {\hat {\rho }}}$ dargestellt, das ist die Summe der entsprechenden Projektionsoperatoren:

${\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum _{i}p_{i}\vert \psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\vert }$

Im Gegensatz zur kohärenten Superposition bleibt der Dichteoperator unverändert, wenn die im Gemisch vertretenen Zustände ${\displaystyle \psi _{i}}$ mit beliebigen Phasenfaktoren versehen werden; im Zustandsgemisch werden die Zustände also inkohärent überlagert.

Der Erwartungswert einer Messung der Observable ${\displaystyle {\hat {A}}}$ ist dementsprechend die gewichtete inkohärente Summe der Erwartungswerte der einzelnen Bestandteile des Gemischs:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\sum _{i}p_{i}\langle \psi _{i}\vert {\hat {A}}\vert \psi _{i}\rangle }$

Dies kann auch als Spur des Operators ${\displaystyle {\hat {\rho }}{\hat {A}}}$ dargestellt werden:

${\displaystyle \langle {\hat {A}}\rangle =\operatorname {Sp} ({\hat {\rho }}{\hat {A}})}$.

Die letzte Gleichung hat den Vorzug, dass sie gleichermaßen für Gemische und für reine Zustände gilt. (Bei einem reinen Zustand ${\displaystyle \psi _{i}}$ ist ${\displaystyle {\hat {\rho }}=\vert \psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}\vert }$ der zum Zustand gehörige Projektionsoperator.)

Der Dichteoperator wird auch als „Zustandsoperator“ bezeichnet.

• Die Zustände eines Teilchens im (eindimensionalen) Kasten der Breite ${\displaystyle a}$ (von 0 bis ${\displaystyle a}$) können als Superpositionen von Eigenzuständen des Hamiltonoperators ${\displaystyle {\hat {H}}}$ geschrieben werden. Dessen Eigenzustände im Ortsraum sind

${\displaystyle \langle x|n\rangle =\sin n{\tfrac {\pi x}{a}},\ n\in \mathbb {N} }$

und die zugehörigen Energieeigenwerte zu ${\displaystyle {\hat {H}}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$ sind

${\displaystyle E_{n}=n^{2}{\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}}$

• Für Teilchen in einem Zentralfeld sind die Energieeigenzustände auch Eigenzustände des Drehimpulsoperators und tragen daher alle drei Quantenzahlen ${\displaystyle n,l,m}$:

${\displaystyle {\hat {H}}\vert n,l,m\rangle =E_{n}\vert n,l,m\rangle ,\quad {\hat {J}}^{2}\vert n,l,m\rangle =\hbar ^{2}l(l+1)\vert n,l,m\rangle ,\quad {\hat {J}}_{z}\vert n,l,m\rangle =\hbar m\vert n,l,m\rangle }$

Aufgrund der Entartung in der Energie reicht eine Messung der Energie nicht aus, um den Zustand eindeutig zu bestimmen.

• Die Spineigenzustände zu ${\displaystyle m_{s}=\pm {\tfrac {1}{2}}}$ eines (fermionischen) Teilchens werden einfach als ${\displaystyle |\uparrow \rangle }$ und ${\displaystyle |\downarrow \rangle }$ geschrieben.
• Der Zustand eines Systems, das durch den s-Wellen-Zerfall eines einzigen, zunächst gebundenen Elementarteilchensystems entsteht, ist ${\displaystyle |\psi \rangle ={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(|\uparrow \rangle _{1}\otimes |\downarrow \rangle _{2}-|\downarrow \rangle _{1}\otimes |\uparrow \rangle _{2}\right)}$. Durch die Messung des Spins bei einem Teilchen kollabiert der Zustand instantan, sodass eine unmittelbar folgende Messung beim anderen Teilchen ein eindeutig korreliertes Ergebnis (nämlich das jeweils gegenteilige) liefert. Dies ist ein Beispiel für Quantenverschränkung.

In der Quantenmechanik und der Quantenstatistik wird zwischen reinen Zuständen und Zustandsgemischen unterschieden. Reine Zustände stellen den Idealfall einer maximalen Kenntnis der beobachtbaren Eigenschaften (Observablen) des Systems dar. Häufig ist aber nach der Präparation oder aufgrund von Messungenauigkeiten der Zustand des Systems nur unvollständig bekannt (Beispiel: der Spin des einzelnen Elektrons in einem unpolarisierten Elektronenstrahl).^[12] Dann können den verschiedenen möglicherweise vorkommenden reinen Zuständen ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ oder den zugeordneten Projektionsoperatoren ${\displaystyle \mathrm {P} _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ nur Wahrscheinlichkeiten ${\displaystyle p_{i}}$ zugeordnet werden (siehe unten). Solche unvollständig bekannten Zustände werden als Zustandsgemische bezeichnet. Zur Darstellung von Zustandsgemischen wird der Dichteoperator ρ verwendet, der auch Dichtematrix oder Zustandsoperator genannt wird.

Ein reiner Zustand entspricht einem eindimensionalen Unterraum (Strahl) in einem Hilbertraum. Die zugehörige Dichtematrix ${\displaystyle \rho =\mathrm {P} _{i}=|\psi _{i}\rangle \langle \psi _{i}|}$ ist der Operator für die Projektion auf diesen Unterraum. Sie erfüllt die Bedingung der Idempotenz, d. h. ${\displaystyle \rho ^{2}=\rho }$. Zustandsgemische sind dagegen nur durch nicht-triviale Dichtematrizen darstellbar, d. h. dass ${\displaystyle \rho ^{2}<\rho }$ gilt. Eine Beschreibung durch einen Strahl ist dann nicht möglich.

Charakteristische Merkmale dieser Zustandsbeschreibung sind die Superponierbarkeit („Kohärenz“) der reinen Zustände und das daraus folgende Phänomen der Quantenverschränkung, während bei den Zustandsgemischen die Beiträge der verschiedenen beteiligten Zustände inkohärent summiert werden.

Das Ergebnis von Messungen an einem Quantensystem ergibt bei Wiederholung an einem exakt gleich präparierten System auch bei reinen Zuständen eine nicht-triviale Verteilung von Messwerten, die in der Quantenstatistik zusätzlich (inkohärent! ^[13]) mit den ${\displaystyle p_{i}}$ gewichtet wird. Die Verteilung entspricht im Einzelnen dem quantenmechanischen Zustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ (oder ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$) und der Observablen ${\displaystyle \,A}$ für den Messprozess (${\displaystyle \,A}$ repräsentiert i. W. die Messapparatur). Für reine Zustände folgt aus der Quantenmechanik: Der Mittelwert der durch Wiederholung erzeugten Messreihe und der quantenmechanische Erwartungswert ${\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle }$ sind identisch.

Für das Ergebnis der Messungen ist also im Unterschied zur klassischen Physik selbst bei reinen (also vollständig bekannten) quantenmechanischen Zuständen nur eine Wahrscheinlichkeit angebbar (deshalb heißt es im Folgenden nicht das Resultat, sondern das zu erwartende Resultat, s. u.). Für Zustandsgemische gilt wegen der ${\displaystyle p_{i}}$ eine zusätzliche (inkohärente!) Unbestimmtheit: ${\displaystyle {\bar {A}}=\sum \,p_{i}\cdot \langle \psi _{i}|A|\psi _{i}\rangle \,.}$

Also selbst das zu erwartende Resultat des Ausgangs einer einzelnen Messung kann nur in Spezialfällen (etwa ${\displaystyle p_{1}=1,\,\,p_{2}=p_{3}=\dots =0}$) sicher vorhergesagt werden. Nur die (speziellen!) Eigenzustände ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$ der betrachteten Observable ${\displaystyle \,A}$ oder die zugehörigen Eigenwerte ${\displaystyle \,a_{k}}$ kommen bei gegebenem ${\displaystyle |\psi \rangle }$ überhaupt als Messwerte in Frage, und selbst in dem oben angegebenen Fall eines reinen Zustands, etwa ${\displaystyle |\psi \rangle \equiv |\psi _{1}\rangle }$, d. h. selbst bei vollständig bekannter Wellenfunktion, können für die verschiedenen Eigenzustände ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$ bei gegebenem ${\displaystyle |\psi \rangle }$ nur Wahrscheinlichkeiten angegeben werden, ${\displaystyle w_{k}=|\langle \psi |\phi _{k}\rangle |^{2}\,,}$ obwohl der Zustand ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$ bei einer unmittelbar anschließenden Folgemessung mit derselben Apparatur genau reproduziert wird. Unbekannte Zustände können dagegen nicht durch Messung bestimmt werden (siehe No-Cloning-Theorem).^[14] Es gilt ferner
         ${\displaystyle \rho =\sum p_{i}\,\mathrm {P} _{i}\,,}$
d. h. dass jetzt nicht die zu den Projektionsoperatoren gehörigen kets superponiert werden, sondern die Projektionsoperatoren selbst mit Wahrscheinlichkeiten versehen werden.

Insgesamt gilt also: ${\displaystyle {\bar {A}}=\sum \sum \,p_{i}\cdot a_{k}\cdot |\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle |^{2}}$, wobei sich der Index i auf die (reinen) Zustände, der Index k dagegen auf die Messgröße bezieht.

(Wenn auch die ${\displaystyle a_{k}}$ oder die ${\displaystyle \,|\phi _{k}\rangle }$ nur „ungefähr“ bekannt wären, müsste die ${\displaystyle p_{i}}$ noch mit zwei entsprechenden Wahrscheinlichkeitsfaktoren, ${\displaystyle q_{k}}$ oder ${\displaystyle r_{ik}}$ multipliziert werden.)

Die Informationsentropie des Zustandes oder die mit der Boltzmannkonstante multiplizierte Von-Neumann-Entropie ist ein quantitatives Maß für die Unkenntnis, die hinsichtlich der möglichen Aussage über das Vorliegen eines bestimmten reinen Zustands besteht. Die Von-Neumann-Entropie, ${\displaystyle -k_{\mathrm {B} }\operatorname {Tr} (\rho \ln(\rho ))\,}$, ist für reine Zustände Null und entsprechend ${\displaystyle -k_{\mathrm {B} }\sum p_{i}\ln p_{i}}$ für Zustandsgemische. (Man beachte ${\displaystyle p\ln p\to 0}$ für ${\displaystyle p\to 0}$.) Dabei wurden Boltzmann'sche Einheiten benutzt, insbesondere ist ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ die Boltzmann-Konstante. In Shannon'schen Einheiten wird dagegen diese Konstante durch Eins und der natürliche Logarithmus ${\displaystyle \ln }$ durch den binären Logarithmus ${\displaystyle \operatorname {lb} }$ ersetzt.

Der quantenmechanische Zustand („Reinheit“ vorausgesetzt), Zustandsvektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ beschreibt also nicht einfach, „was ist“, sondern gibt die Gesamtheit der „Komponenten“ von ${\displaystyle |\psi \rangle }$ an, die ${\displaystyle \{|\phi _{k}\rangle \},}$ die durch eine zur Messgröße ${\displaystyle \,A}$ passende Messung aus dem Vektor herausprojiziert werden können („Präparation“), und gibt insbesondere an, mit welcher Wahrscheinlichkeit dabei die ${\displaystyle k}$-te Komponente ausgewählt wird ${\displaystyle (w_{k}=|\langle \psi |\phi _{k}\rangle |^{2}).}$ Auch ${\displaystyle |\psi \rangle }$ selbst muss i. A. erst durch Messungen präpariert werden.

Dagegen ist der Zustand der Messapparatur i. W. „klassisch“ (obwohl sie auch von der quantenmechanischen Messgröße ${\displaystyle \,A}$ abhängt). Trotzdem ist ein wesentlicher Aspekt der Messapparatur deshalb „klassisch“, weil die Apparatur analog zu einer hinreichend großen Uhr eindeutig (beispielsweise durch Zeigerstellung) feststellt, welcher Eigenwert ${\displaystyle a_{k}}$ bei der Messung herausgekommen ist („Registrierung“). Der neu präparierte Zustand, jetzt ${\displaystyle |\phi _{k}\rangle }$, gehorcht trotzdem bis zur nächsten Messung nicht der klassischen, sondern der quantenmechanischen Zeitentwicklung (siehe Mathematische Struktur der Quantenmechanik#Zeitliche Entwicklung).

Anders gesagt: Der quantenmechanische Zustand ist „präparatorisch“, der klassische dagegen „registrierend“.

• Quantenmechanische Messung
• Quantentomografie
• Heisenbergsche Unschärferelation
• Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon

1. ↑ Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1; Quantenmechanik – Grundlagen. 5. Auflage. Springer, Berlin Heidelberg 2002, ISBN 3-540-42114-9, S. 119. 
2. ↑ Für ein einzelnes Elektron in einem Teilchenstrahl ist zwar eine gleichzeitige „scharfe“ registrierende Messung von Impuls und Ort durch ein-und-dieselbe Messapparatur („Zähler“) möglich. Eine Vorhersage, welcher Zähler aus einer vorgegebenen Anordnung, die alle Möglichkeiten abdeckt, beim anschließend folgenden Elektron anspricht, oder zumindest die Gleichzeitigkeit „scharfer“ Mittelwerte von Ort und Impuls bei einer Messreihe, sind dagegen ausgeschlossen. Vgl. Feynman-Vorlesungen über Physik. 3 Bände, ISBN 0-201-02115-3 (dt. Vorlesungen über Physik. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2007, ISBN 978-3-486-58444-8), zuerst 1963/1965 bei Addison/Wesley. In Band 3, Quantenmechanik, Kap. 16, wird ausführlich die Begrifflichkeit der Heisenbergschen Unschärferelation behandelt.
3. ↑ Siehe Artikel Heisenbergsche Unschärferelation oder zum Beispiel Albert Messiah Quantenmechanik, de Gruyter 1978, Band 1, S. 121ff
4. ↑ Bei ungebundenen Eigenzuständen des Energieoperators treten analoge Grenzwertprobleme wie bei Beispiel 1 und 2 (s. u.) auf.
5. ↑ Diese Dimension kann endlich sein oder abzählbar-unendlich (wie im Standardfall des Hilbertraums) oder sogar überabzählbar-unendlich (wie bei den Gelfandschen Raumtripeln, einer Verallgemeinerung des Hilbertraums zur besseren Erfassung kontinuierlicher Spektren).
6. ↑ Walter Thirring: Quantenmechanik von Atomen und Molekülen. In: Lehrbuch der Mathematischen Physik. 3. Auflage. Band 3. Springer, Wien 1994, ISBN 978-3-211-82535-8, S. 26. 
7. ↑ W. Heisenberg: Über quantentheoretische Umdeutung kinematischer und mechanischer Beziehungen. In: Zeitschrift für Physik. Band 33, 1925, S. 879–893.
8. ↑ P.A.M. Dirac: On the theory of quantum mechanics. In: Proceedings of the Royal Society of London A. Band 112, 1926, S. 661–677.
9. ↑ E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem I“, Annalen der Physik 79 (1926), 361–376. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem II“, Annalen der Physik 79 (1926), 489–527. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem III“, Annalen der Physik 80 (1926), 734–756. E. Schrödinger: „Quantisierung als Eigenwertproblem IV“, Annalen der Physik 81 (1926), 109–139
10. ↑ Torsten Fließbach: Quantenmechanik. 4. Auflage. Spektrum, München 2005, ISBN 3-8274-1589-6, S. 231. 
11. ↑ Beispiel: Wenn ${\displaystyle \vert \!\!\uparrow \rangle ,\ \vert \!\!\downarrow \rangle }$ die Eigenzustände zum Spin „auf“ oder „ab“ in z-Richtung sind, dann ist ${\displaystyle \vert \!\!\rightarrow \rangle =\vert \!\!\uparrow \rangle +\vert \!\!\downarrow \rangle }$ der Eigenzustand „auf“ in x-Richtung, aber ${\displaystyle \vert \!\!\nearrow \rangle =\vert \!\!\uparrow \rangle +i\vert \!\!\downarrow \rangle }$ der Eigenzustand „auf“ in y-Richtung. (Der Normierungsfaktor wurde fortgelassen.)
12. ↑ Man stelle sich die praktisch unmögliche Aufgabe vor, den Vielteilchenzustand ${\displaystyle \psi _{1,2,\dots ,N}}$ eines Systems aus N=10²³ Elektronen zu bestimmen.
13. ↑ „Inkohärent“ deshalb, weil die ${\displaystyle p_{i}}$ mit einem quadratischen Ausdruck in den ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$ gewichtet werden
14. ↑ Das heißt unter anderem, dass die ${\displaystyle p_{i}}$ nicht durch Angabe der ${\displaystyle a_{k}}$ und der ${\displaystyle w_{k}}$ bestimmt werden können.