Skup realnih brojeva je unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva.

Odnos skupova brojeva

Računske operacije na skupu su definirane kao i za ostale skupove , i , tj. za realne brojeve vrijede svojstva komutativnosti i asocijativnosti zbrajanja i množenja, te distributivnosti množenja prema zbrajanju.

  • Skup je gust, odnosno između svaka dva različita realna broja postoji beskonačno realnih brojeva.
  • Skup je neprebrojiv.
  • Elementi skupa prekrivaju čitav brojevni pravac.

Skup realnih brojeva, zajedno s operacijama zbrajanja i množenja, primjer je polja.

Osnovna svojstva zbrajanja i množenja realnih brojeva

uredi

Za polje realnih brojeva vrijedi:[1]:str. 17.

(R1)   (zatvorenost zbrajanja)

(R2)   (asocijativnost zbrajanja)

(R3)   (neutralnost nule pri zbrajanju)

(R4)   (postojanje suprotnog broja)

(R5)   (komutativnost zbrajanja)

(R6)   (zatvorenost množenja)

(R7)   (asocijativnost množenja)

(R8)   (neutralnost jedinice pri množenju)

(R9)   (postojanje inverznog broja)

(R10)   (komutativnost množenja)

(R11)   (distributivnost množenja prema zbrajanju slijeva)

(R11)'   (distributivnost množenja prema zbrajanju zdesna)

Uređaj na skupu realnih brojeva

uredi

Realni broj   manji je od realnog broja   ako postoji pozitivan realni broj   takav da je  . Uređaj ima sljedeća svojstva:[1]:str. 61.

  • tranzitivnost uređaja:  
  • odnos uređaja prema zbrajanju:  
  • odnos uređaja prema množenju:   i  

Realni broj kao presjek niza padajućih segmenata

uredi

Za svaki realni broj   postoji padajući niz segmenata

 

u čijem se presjeku nalazi samo realni broj  . Zanimljivo je da se   mogu izabrati tako da budu racionalni brojevi.[2]

Izvori

uredi
  1. a b Jasenka Đurović, Ivo Đurović, Sanja Rukavina: Matematika 1 (udžbenik za I. razred gimnazije), Element, Zagreb, 1996.
  2. Neven Elezović. 2000. Matematika 4, Element, Zagreb, str. 47
Nedovršeni članak Realni broj koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.