Endomorfismo

Sia ${\displaystyle X}$  un insieme o una struttura. Si definisce endomorfismo una funzione ${\displaystyle T}$  tale che:

${\displaystyle T\colon X\to X.}$ 

L'endomorfismo si può quindi attuare su un insieme generico; in varie applicazioni risulta importante considerare gli endomorfismi basati su spazi vettoriali.

Si indica invece con ${\displaystyle \mathrm {End} (X)}$  l'insieme degli endomorfismi di ${\displaystyle X.}$ 

Se un insieme ${\displaystyle X}$  è dotato di un'operazione binaria ${\displaystyle *}$ , che associa a due elementi ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  un altro elemento ${\displaystyle x*y}$  di ${\displaystyle X,}$  un endomorfismo di ${\displaystyle X}$  è una funzione ${\displaystyle f\colon X\to X}$  tale che

${\displaystyle f(x*y)=f(x)*f(y),}$ 

per ogni ${\displaystyle x}$  e ${\displaystyle y}$  in ${\displaystyle X.}$  L'esempio più importante di insieme dotato di operazione binaria è il gruppo.

Ad esempio, la funzione ${\displaystyle f(x)=2x}$  dal gruppo dei numeri interi in sé è un endomorfismo rispetto all'operazione di somma. La funzione ${\displaystyle f(x)=x+1}$  invece no.

Se ${\displaystyle V}$  è uno spazio vettoriale, un endomorfismo di ${\displaystyle V}$  è un'applicazione lineare ${\displaystyle T}$  da ${\displaystyle V}$  in sé stesso ${\displaystyle T\colon V\to V.}$ 

Data la precedente definizione relativa agli spazi vettoriali, è interessante chiedersi, essendo l'immagine dell'endomorfismo un sottoinsieme di ${\displaystyle V,}$  se esistono in ${\displaystyle X}$  dei sottospazi ${\displaystyle U}$  di dimensione 1 che sono lasciati invariati per l'azione dell'endomorfismo. Ci si chiede cioè se esistono degli insiemi ${\displaystyle U}$  tali che ${\displaystyle T(U)\subseteq U}$ . La ricerca di questi sottospazi è riconducibile alla ricerca di particolari vettori, detti autovettori di ${\displaystyle T}$ ^[1].

• Un endomorfismo che è anche biiettivo è un automorfismo.
• La funzione identità normalmente è un endomorfismo.
• La composizione di due endomorfismi è un endomorfismo, e quindi la composizione definisce un'operazione binaria su ${\displaystyle \mathrm {End} (X).}$ 
• Definiamo determinante di un endomorfismo ${\displaystyle f}$  su uno spazio vettoriale di dimensione finita: ${\displaystyle \det[f]_{B}^{B}}$ , ossia il determinante della matrice associata. Esso non dipende dalla base ${\displaystyle B.}$ 
• Definiamo traccia di un endomorfismo ${\displaystyle f}$  su uno spazio vettoriale di dimensione finita: ${\displaystyle \mathrm {tr} [f]_{B}^{B}}$ , ossia la traccia della matrice associata. Essa non dipende dalla base ${\displaystyle B.}$ 

• Morfismo
• Isomorfismo
• Automorfismo
• Endofunzione
• Operatore (matematica)

•   Wikizionario contiene il lemma di dizionario «endomorfismo»

• Endomorfismo, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.  
• Endomorfismo, in Dizionario delle scienze fisiche, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1996.  
• endomorfismo, su sapere.it, De Agostini.  
• Endomorfismo, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.  
• (EN) Eric W. Weisstein, Endomorphism, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) Endomorphism, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.  
• Endomorfismo, in Grande Dizionario di Italiano, Garzanti Linguistica.