Matrice invertibile

In matematica, in particolare in algebra lineare, una matrice quadrata è detta invertibile, o regolare, o non singolare se esiste un'altra matrice tale che il prodotto matriciale tra le due restituisce la matrice identità.

L'insieme delle matrici invertibili di dimensioni è un gruppo moltiplicativo rispetto all'ordinaria operazione di prodotto matriciale; tale struttura algebrica è detta Gruppo generale lineare ed è indicata con il simbolo .

Definizione

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Una matrice quadrata   è detta invertibile se esiste una matrice   tale che:[1]

 

dove   denota la matrice identità   e la moltiplicazione usata è l'ordinaria moltiplicazione di matrici.

Se è questo il caso, allora la matrice   è univocamente determinata da   ed è chiamata l'inversa di  , indicata con  .

Nella definizione, le matrici   e   hanno valori in un anello con unità.

Definizioni equivalenti

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Una matrice   è singolare se ha determinante uguale a zero. Tra le affermazioni elencate sotto, la più importante dice che se   ha valori in un campo, come ad esempio quello dei numeri reali o complessi, la matrice è invertibile se e solo se non è singolare.

Sia   una matrice quadrata   con valori in un campo   (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi).

Le seguenti affermazioni sono equivalenti e caratterizzano una matrice   invertibile:

  • Esiste una matrice   tale che  .
  • Il determinante non è nullo:  .
  • Il rango di   è  .
  • La trasposta   è una matrice invertibile.
  • L'equazione   (con   e   vettori colonna in  ) ha solamente la soluzione banale  .
  • L'equazione   ha esattamente una soluzione per ogni   in  .
  • Le colonne di   sono linearmente indipendenti.
  • Le righe di   sono linearmente indipendenti.
  • Le colonne di   generano  .
  • Le colonne di   formano una base di  .
  • L'applicazione lineare   da   in   data da:   è biiettiva.
  • Il numero 0 non è un autovalore di  .
  •   è trasformabile nella matrice identità   tramite l'algoritmo di Gauss-Jordan.
  •   è trasformabile mediante algoritmo di Gauss-Jordan in una matrice a scalini con   pivot.

Proprietà

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Gruppo generale lineare.
  • L'inversa di una matrice invertibile   è essa stessa invertibile, e si ha:[2]
 
  • Il prodotto di due matrici invertibili   e   è ancora invertibile, con inversa data da:
 

Come conseguenza delle proprietà precedenti, l'insieme delle matrici invertibili   costituisce un gruppo con la moltiplicazione, noto come il gruppo generale lineare  .

Poiché le matrici invertibili formano un gruppo, possono in molti casi essere manipolate come se fossero dei numeri reali. Ad esempio:

  • Se   è invertibile, l'equazione   ha una sola soluzione, data da  . Analogamente   ha come unica soluzione  .

Matrici reali

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Sul campo dei numeri reali l'insieme di tutte le matrici   è uno spazio vettoriale isomorfo a  , e il sottoinsieme delle matrici non invertibili è un insieme nullo, cioè ha misura di Lebesgue zero, essendo l'insieme degli zeri della funzione determinante, che è un polinomio. Intuitivamente, questo vuol dire che la probabilità che una matrice quadrata casuale a valori reali sia non-invertibile è zero. Parlando in modo approssimativo, si dice che "quasi tutte" le matrici sono invertibili.

Matrice invertibile in un anello

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Il teorema della matrice invertibile generalmente non vale in un anello commutativo. In questo caso, la matrice è invertibile se e solo se il suo determinante è una unità, ossia è invertibile, in questo anello.

Sistemi lineari

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Sistema di equazioni lineari.

Se   è invertibile, l'equazione   ha una sola soluzione, data da  . Analogamente   ha come unica soluzione  .

Nel caso particolare in cui   e   abbiano dimensioni  , ovvero siano vettori colonna, l'equazione   rappresenta un sistema lineare, dove   è la matrice dei coefficienti.[3]

  è invertibile se il sistema ha una soluzione unica o, in modo equivalente, se il sistema omogeneo associato ha come unica soluzione il vettore nullo.[4]

Calcolo della matrice inversa

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Esistono vari metodi per il calcolo dell'inversa di una matrice quadrata invertibile  .

Matrici di ordine 2

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La matrice inversa di una matrice 2 per 2 invertibile:

 

è la seguente:

 

Si noti come questa formula è ricavabile del metodo dei cofattori sotto spiegato.

Metodo della matrice dei cofattori

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  Lo stesso argomento in dettaglio: Matrice dei cofattori e Cofattore (matematica).

Il metodo della matrice dei cofattori risulta particolarmente rapido quando non interessa calcolare tutti gli elementi della matrice inversa, e quando la matrice è di dimensione contenuta. Inoltre, la presenza di variabili letterali tra gli elementi non aumenta di molto la complessità del calcolo.

Data una matrice   quadrata e invertibile:

 

la sua inversa   è la seguente:

 

dove   è il determinante di  , la matrice   è la matrice dei cofattori (o dei complementi algebrici) e l'esponente   indica l'operazione di trasposizione di matrici.

Uno schema mnemonico per la variazione del segno   è il seguente:

 

Dimostrazione

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Si consideri la matrice   e la sua inversa  . La formula

 

equivale a

 

dove   è la matrice identità. Quindi, se   indica l'elemento della matrice   nella riga   e colonna   e   indica il minore di   ottenuto cancellando la riga   e la colonna   si ha

 

dove se   si ha zero poiché la quantità considerata corrisponde al determinante di una matrice   che si ottiene sostituendo in   la riga  -esima con una copia della riga  -esima. La matrice   ha quindi due righe uguali e dunque il determinante è 0.

Algoritmo di Gauss-Jordan

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L'algoritmo di Gauss-Jordan, può essere usato per trovare (quando esiste) l'inversa di una matrice. Funziona nel modo seguente: sia   una matrice invertibile. Si costruisce la matrice   con   righe e   colonne affiancando   e la matrice identità  . A questo punto si applica l'algoritmo di Gauss-Jordan alla nuova  . Questo algoritmo trasforma la matrice   in una matrice a scalini, che sarà del tipo  . La matrice   così trovata è proprio l'inversa di  . Infatti se si considera la matrice  , il sistema associato ha come unica soluzione un vettore   che per definizione di inversa è la  -esima colonna della matrice inversa di   Con le operazioni elementari la si trasforma nella matrice   la cui soluzione è sempre il vettore   (perché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare rimane invariato usando le operazioni elementari). Questo equivale a dire che   è uguale a   ossia  . Questo vale per ogni colonna. Quindi, dato che il vettore   è la  -esima colonna della matrice inversa, allora  

L'esempio seguente mostra che l'inversa di:

 

è la matrice:

 

Infatti:

 
 

Nel primo passaggio si è moltiplicata la prima riga per  , nel secondo si è sommata alla seconda riga la prima, nel terzo si è moltiplicata la seconda riga per  , nel quarto passaggio si è sommata alla prima riga la seconda e infine nell'ultimo passaggio si è divisa la prima riga per   e la seconda per  . In questo modo si è partiti da una matrice di   e si è arrivati a  . Si ha che   è l'inversa di  .

Inversa di una matrice partizionata

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Data una matrice partizionata a blocchi:

 

in cui le sottomatrici sulla diagonale   e   sono quadrate e non singolari, si può dimostrare che l'inversa di   risulta uguale a:

 

dove   è una matrice identità di ordine appropriato e:

 

ovvero:

 

con:

 
  1. ^ S. Lang, Pag. 68.
  2. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 22.
  3. ^ Un ragionamento analogo vale anche per  , ma qui   e   devono essere vettori riga.
  4. ^ Hoffman, Kunze, Pag. 23.

Bibliografia

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Voci correlate

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Collegamenti esterni

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