Mediana (geometria)

Alcune proprietà della mediana:

1 - Il triangolo viene diviso dalla mediana in due triangoli aventi la stessa superficie e tutte le altre rette che dividono il triangolo in due parti di uguale superficie non passano per il baricentro.

2 - Le tre mediane di un triangolo si intersecano in un punto chiamato baricentro o centro di massa (per una dimostrazione si veda per esempio il Teorema di Ceva).

3 - Ogni mediana giace per due terzi della propria lunghezza fra il vertice e il baricentro, mentre l'altro terzo si trova fra il baricentro e il punto medio del lato opposto.

La terza proprietà non è immediata. In riferimento alla figura sottostante, provo che ${\displaystyle BG=2GB'}$ . Siano ${\displaystyle D}$  ed ${\displaystyle E}$  rispettivamente i punti medi dei segmenti ${\displaystyle BG}$  e ${\displaystyle CG}$ . Quindi ${\displaystyle BD=DG}$  (1) e ${\displaystyle CE=EG}$ . Applicando il Teorema di Talete al triangolo${\displaystyle ABC}$  tagliato dalla retta passante per ${\displaystyle B'}$  e ${\displaystyle C'}$  ho che

${\displaystyle B'C'={\frac {1}{2}}BC}$ .

Applicando il Teorema di Talete al triangolo ${\displaystyle GBC}$  tagliato dalla retta passante per ${\displaystyle D}$  ed ${\displaystyle E}$  ho che

${\displaystyle DE={\frac {1}{2}}BC}$ .

Quindi ${\displaystyle DEB'C'}$  è un parallelogramma. In un parallelogramma le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, quindi ${\displaystyle DG=GB'}$  (2). Si conclude osservando che per (1) e (2) si ha ${\displaystyle BG=BD+DG=2DG=2GB'}$ . Analogo ragionamento per le altre due mediane.

La lunghezza della mediana può essere ottenuta grazie al teorema della mediana. Usando la notazione standard per gli elementi di un triangolo e con ${\displaystyle m_{a}}$ , ${\displaystyle m_{b}}$ , ${\displaystyle m_{c}}$  le mediane uscenti rispettivamente dai vertici ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle B}$ , ${\displaystyle C}$ , si ha che:

• ${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-a^{2}}}}$ 
• ${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-b^{2}}}}$ 
• ${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}$ 

Dimostrazione: Sia ${\displaystyle A'}$  il punto medio del lato ${\displaystyle BC}$ . Considero i triangoli ${\displaystyle ABA'}$  e ${\displaystyle AA'C}$ . Per la prima proprietà essi sono equivalenti, quindi hanno medesima area, cioè ${\displaystyle ABA'=AA'C}$ . Calcolando l'area dei due triangoli applicando la Formula di Erone (conviene la seconda forma proposta) ottengo il primo enunciato. Ragionamento analogo per gli altri due.

• Punto medio
• Baricentro (geometria)
• Altezza (geometria)
• Bisettrice

•   Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su mediana

• (EN) Eric W. Weisstein, Mediana, su MathWorld, Wolfram Research.