Somma diretta

Uno spazio vettoriale ${\displaystyle V}$  si definisce somma diretta dei sottospazi ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$  se ogni elemento ${\displaystyle \mathbf {v} \in V}$  si può scrivere in maniera unica nel seguente modo:^[1]

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} }$ 

con ${\displaystyle \mathbf {u} \in U}$  e ${\displaystyle \mathbf {w} \in W}$ . La dimensione di ${\displaystyle V}$  è inoltre pari alla somma algebrica delle dimensioni di ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$ .^[2]

Una condizione necessaria e sufficiente affinché i due sottospazi siano in somma diretta è che ${\displaystyle V=U+W}$  e la loro intersezione sia il vettore nullo:

${\displaystyle U\cap W=\{\mathbf {0} \}}$ 

Questo si estende a famiglie di un qualsiasi numero di sottospazi.

Si dice inoltre che ${\displaystyle V}$  si decompone in somma diretta di ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$  e si scrive:

${\displaystyle V=U\oplus W}$ 

Per la formula di Grassmann, due spazi sono in somma diretta se e solo se:^[3]

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)}$ 

Quando due spazi non sono in somma diretta, il termine a sinistra è strettamente minore di quello a destra.

Se ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$  sono in somma diretta, ogni elemento ${\displaystyle \mathbf {z} }$  del sottospazio somma ${\displaystyle U+W}$  si scrive unicamente come:

${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {u} +\mathbf {w} }$ 

dove ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  sono elementi rispettivamente di ${\displaystyle U}$  e ${\displaystyle W}$ . Gli elementi ${\displaystyle \mathbf {u} }$  e ${\displaystyle \mathbf {w} }$  sono detti componenti di ${\displaystyle \mathbf {z} }$  lungo i due sottospazi. Grazie all'unicità di queste, è possibile definire due proiezioni:

${\displaystyle p_{U}:U+W\to U\qquad p_{W}:U+W\to W}$ 

semplicemente ponendo:

${\displaystyle p_{U}(\mathbf {z} )=\mathbf {u} \qquad p_{W}(\mathbf {z} )=\mathbf {w} }$ 

Lo spazio ${\displaystyle M(n)}$  delle matrici quadrate ${\displaystyle n\times n}$  a coefficienti in un campo ${\displaystyle K}$  si decompone nei sottospazi delle matrici simmetriche e antisimmetriche:

${\displaystyle M(n)=S(n)\oplus A(n)}$ 

Le dimensioni relative dei sottospazi sono:

${\displaystyle n^{2}={\frac {n(n+1)}{2}}+{\frac {n(n-1)}{2}}}$ 

e le rispettive proiezioni sono:

${\displaystyle p_{U}(M)={\frac {M+M^{t}}{2}}\qquad p_{W}(M)={\frac {M-M^{t}}{2}}}$ 

Tali operatori di proiezione permettono di decomporre ogni matrice nella somma di una matrice simmetrica e di una antisimmetrica:

${\displaystyle M={\frac {M+M^{t}}{2}}+{\frac {M-M^{t}}{2}}}$ 

e inoltre:

${\displaystyle \left({\frac {M+M^{t}}{2}}\right)^{t}={\frac {M^{t}+(M^{t})^{t}}{2}}={\frac {M^{t}+M}{2}}={\frac {M+M^{t}}{2}}}$ 

mostra che la matrice ${\displaystyle p_{U}(M)}$  è effettivamente simmetrica (perché uguale alla sua trasposta: si verifica analogamente che ${\displaystyle p_{W}(M)}$  è antisimmetrica).

La somma diretta di gruppi abeliani e la somma diretta di spazi vettoriali sono casi particolari della costruzione della somma diretta tra moduli.

Sia ${\displaystyle R}$  un anello e ${\displaystyle \{M_{i}:i\in I\}}$  una famiglia di R-moduli sinistri indicizzata dall'insieme ${\displaystyle I}$ . La somma diretta dei moduli ${\displaystyle \{M_{i}\}}$  è definita come l'insieme di tutte le successioni ${\displaystyle (\alpha _{i})}$  con ${\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$  e ${\displaystyle \alpha _{i}=0}$  per un sottoinsieme cofinito di indici i (cioè per tutti gli indici ad eccezione di un insieme finito). Si può anche definire come le funzioni ${\displaystyle \alpha }$  da ${\displaystyle I}$  a valori nell'unione disgiunta dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$  tali che ${\displaystyle \alpha (i)\in M_{i}}$  per ogni ${\displaystyle i\in I}$  e ${\displaystyle \alpha (i)=0}$  per un sottoinsieme cofinito di indici i.

Due successioni (o funzioni) ${\displaystyle \alpha }$  e ${\displaystyle \beta }$  possono essere sommate scrivendo ${\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}$  per ogni i (tale successione è ancora nulla tranne che per un numero finito di elementi), ed una successione ${\displaystyle \alpha }$  può essere moltiplicata per un elemento ${\displaystyle r}$  dell'anello ${\displaystyle R}$  definendo ${\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}$  per ogni i. In questo modo la somma diretta diventa un R-modulo sinistro, denotato con:

${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}}$ 

Solitamente si denota la successione ${\displaystyle (\alpha _{i})}$  anche come una somma ${\displaystyle \Sigma \alpha _{i}}$ .

• La somma diretta dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$  è un sottomodulo del prodotto diretto dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$ . Il prodotto diretto è l'insieme delle funzioni ${\displaystyle \alpha }$  definite su ${\displaystyle I}$  a valori nell'unione disgiunta dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$  tali che ${\displaystyle \alpha (i)\in M_{i}}$ , ma non si annulla necessariamente per tutti gli indici i tranne un numero finito di essi (come avviene per la somma diretta). Se ${\displaystyle I}$  è finito somma diretta e prodotto diretto si equivalgono. Se si identifica ognuno dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$  con il sottomodulo della somma diretta costituito da tutte le funzioni che si annullano per tutti gli indici tranne l'i-esimo, ogni elemento ${\displaystyle x}$  della somma diretta può essere scritto in modo unico come una somma di finiti elementi dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$ .

• Le somme dirette sono commutative e associative, nel senso che l'ordine in cui sono formate è ininfluente.

• Il gruppo degli omomorfismi R-lineari definiti dalla somma diretta a qualche R-modulo sinistro ${\displaystyle L}$  è isomorfo in modo naturale al prodotto diretto dei gruppi di omomorfismi R-lineari definiti da ${\displaystyle M_{i}}$  a ${\displaystyle L}$ :

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right)}$ 

Quindi, vi è un omomorfismo ${\displaystyle \tau }$  dal membro sinistro al membro destro della relazione: ${\displaystyle \tau (\theta )(i)}$  è l'omomorfismo R-lineare che manda ${\displaystyle x\in M_{i}\to \theta (x)}$  (sfruttando l'inclusione naturale di ${\displaystyle M_{i}}$  nella somma diretta). L'omomorfismo inverso di ${\displaystyle \tau }$  è definito come:

${\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}$ 

per ogni ${\displaystyle \alpha }$  nella somma diretta dei moduli ${\displaystyle M_{i}}$ . Si nota che la definizione di ${\displaystyle \tau ^{-1}}$  ha senso in quanto ${\displaystyle \alpha (i)}$  è nulla per tutti gli i tranne che un numero finito, e quindi la somma è finita. In particolare, lo spazio duale della somma diretta di spazi vettoriali è isomorfo al prodotto diretto dei duali di tali spazi.

• La somma diretta finita di moduli è un biprodotto. Infatti, se:

${\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}$ 

sono le mappe di proiezione canoniche e:

${\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$ 

sono le mappe di inclusione, allora:

${\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}$ 

è uguale al morfismo identità di ${\displaystyle A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}$ , mentre:

${\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}$ 

è il morfismo identità di ${\displaystyle A_{k}}$  nel caso ${\displaystyle l=k}$ , ed è la mappa nulla altrimenti.

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, 1962.
• (EN) Rosen, K. H. (Ed.). Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. Boca Raton, FL: CRC Press, 2000.

• Anello (algebra)
• Formula di Grassmann
• Gruppo abeliano
• Modulo (algebra)
• Prodotto diretto
• Proiezione (geometria)
• Sottospazio ortogonale
• Sottospazio vettoriale

• (EN) Eric W. Weisstein, Somma diretta, su MathWorld, Wolfram Research.  
• (EN) M.Sh. Tsalenko, Direct sum, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.