Teorema del coseno

teorema della geometria Euclidea

In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète.

Il teorema

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Con riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:

 

Dimostrazione con il teorema di Pitagora

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Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo   si ha:

 

dove   indica la lunghezza del segmento   Risolvendo il triangolo rettangolo   si ha anche:

 

Vale inoltre

 

Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:

 

Per la relazione fondamentale   questa equazione può essere semplificata in:

 

Nel caso di un triangolo rettangolo, ossia con   il terzo addendo del secondo membro è nullo e si ricade nel teorema di Pitagora, mentre se il triangolo è ottusangolo ( ) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la differenza che in questo caso:

 

e quindi si trova nuovamente

 

Dimostrazione con vettori

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Si considerino i vettori:

 
 
 

Si può quindi scrivere che:

 

Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:

 
 

dove   è il prodotto scalare tra   e  . Usando infine il fatto che   si ricava

 

Voci correlate

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