Propulsione aerea/Capitolo V°: differenze tra le versioni

Propulsione aerea

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1. Capitolo I°Propulsione aerea/Capitolo I°
2. Capitolo II°Propulsione aerea/Capitolo II°
3. Capitolo III°Propulsione aerea/Capitolo III°
4. Capitolo IV°Propulsione aerea/Capitolo IV°
5. Capitolo V°Propulsione aerea/Capitolo V°
6. Capitolo VI°Propulsione aerea/Capitolo VI°
7. Capitolo VII°Propulsione aerea/Capitolo VII°
8. Capitolo VIII°Propulsione aerea/Capitolo VIII°
9. Capitolo IX°Propulsione aerea/Capitolo IX°
10. Capitolo X°Propulsione aerea/Capitolo X°
11. Capitolo XI°Propulsione aerea/Capitolo XI°
12. Capitolo XII°Propulsione aerea/Capitolo XII°
13. Capitolo XIII°Propulsione aerea/Capitolo XIII°
14. Capitolo XIV°Propulsione aerea/Capitolo XIV°
15. Capitolo XV°Propulsione aerea/Capitolo XV°
16. Capitolo XVI°Propulsione aerea/Capitolo XVI°

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Processi di compressione ed espansione nelle macchine alternative

E' questo il caso tipico delle macchine motrici ed operatrici a vapore ed a gas alternative. Supponiamo di avere due serbatoi con gas a pressione p₁ e p₂ che possono essere messi in comunicazione col cilindro a mezzo di valvole; ammettiamo inoltre che non vi sia spazio nocivo cioè che a punto morto superiore lo stantuffo combaci col fondo del cilindro (/fig.16)

Nella fase di andata il cilindro comunica col serbatoio a pressione p₁ per una frazione della sua corsa (tratto AB); chiusa la valvola di ammissione segue la trasformazione da B a C sino al punto morto inferiore; l'andamento crescente della pressione con il crescere del volume specifico a valvole chiuse è giustificato dall'assunzione che lungo BC sia somministrato al gas, con modalità qualsiasi, una certa quantità di calore Q; questa assunzione è fatta per avere un caso più generale. Per tutta la corsa di ritorno CD il cilindro viene posto in comunicazione col serbatoio a pressione p₂ mediante l'apertura della relativa valvola.
Nel caso trattato non si è in presenza di un solo sistema ma di tre: gas nel sebatoio a pressione p₁ e nel cilindro; gas racchiuso nel cilindro; gan nel cilindro e nel sebatoio a pressione p₂. In particolare uno dei serbatoi può essere l'atmosfera.
Gli scambi di calore e lavoro sono sempre di facile definizione quando sono note le caratteristiche dei tre sistemi; l'energia cinetica delle masse in giuoco è trascurabile. Ordinariamente i due sebatoi sono di volume talmente grande rispetto a quello del cilindro da poter ammettere invariata la pressione pei tratti AB e CD.
L'unità di peso del gas entrando nel cilindro comunica quindi all'esterno il lavoro p₁ v₁ (area OABB' ); lungo la trasformazione BC il lavoro è dato da

${\displaystyle \ \int _{1}^{2}p\ dv}$

mentre lungo CD dall'esterno viene comunicato al gas il lavoro

${\displaystyle p_{2}\ v_{2}}$.

Lungo la trasformazione BC a valvole chiuse, poichè la massa del gas non varia, è valida la relazione 13'

${\displaystyle \ J\ dQ=J\ C_{v}\ dT+p\ dv}$.

Ne segue:

${\displaystyle \ \int _{1}^{2}p\ dv=J\int _{1}^{2}(dQ-C_{v}\ dT)=J\ Q-J\ C_{v}(T_{2}-T_{1})}$

Q è la quantità di calore fornita durante la trasformazione.
Poichè la diminuizione dell'energia del gas deve essedre uguale al lavoro comunicato all'esterno e viceversa, assunto positivo il lavoro comunicato all'esterno, si ha:

${\displaystyle \ (26)\qquad L=p_{1}v_{1}\int _{1}^{2}pdv-p_{2}v_{2}=JQ-J[(C_{v}T_{2}+{\frac {p_{2}v_{2}}{J}})-(C_{v}T_{1}+{\frac {p_{1}v_{1}}{J}})]}$

ricordando che

${\displaystyle \ C_{v}\ T+{\frac {p\ v}{J}}}$

, a meno di una costante, è l'entalpia i, si ottiene più semplicemente:

${\displaystyle \ (27)\qquad L=J\ Q-J(i_{2}-i_{1})}$.

Se L risulta positivo si tratta di lavoro fornito dal gas all'esterno e viceversa. Dalls (27) si deduce che in generale la differenza tra il calore fornito ed il lavoro comunicato all'esterno deve essere uguale all'aumento di entalpia.
Generalmente nei processi di compressione ed espansione non vi sono sensibili scambi di calore; la rappresentazione sul piano p, v in questo caso è quella segnata nelle figure 17a, b.

figura 17a

figura 17b

Si noti la differenza tra questo lavoro totale (area ABCD) e quello corrispondente alla sola e vera trasformazione BC (area B'BCC') data da

${\displaystyle \ \int _{1}^{2}p\ dv=-\int _{1}^{2}C_{v}\ dT=-(u_{2}-u_{1})=-J{\frac {1}{k-1}}R(T_{2}-T_{1})}$.

Risulta quindi che nei processi avanti descritti l'entalgia gioca il ruolo dell'energia interna per le sole trasformazioni BC. A parità di condizioni iniziali e finali il rapporto tra i due lavori è

${\displaystyle \ k={\frac {C_{p}}{C_{v}}}}$

ammesso che la trasformazione bc sia adiabatica-isoentyropica.
Spesso si legge o si sente ripetere che il gas ha percorso il ciclo ABCDA; errore concettuale molto grave; non si può parlare in questo caso di ciclo; tutto l'insieme è una successione di fatti che non ha niente in comune coi cicli veri e propri che si riferiscono, tra l'altro, sempre ad una massa costante del fluido interessato.
La (27) in termini differenziali diviene:

${\displaystyle \ (28)\qquad dL=J\ dQ-J\ di=J\ dQ-J\ C_{v}\ dT-p\ dv-v\ dp}$

e poichè per la (13')

${\displaystyle \ J\ dQ=J\ C_{v}\ dT+p\ dv}$

si ricava in generale dL=-v dp. Se non vi è scambio di calore:

${\displaystyle \ (28')\qquad dL=-v\ dp=-L\ di}$

SDi è detto cheil lavoro in questo processo è rappresentato in valore e segno dall'area ABCD; la (28') conferma questo fatto poichè l'area elementare è rappresentata proprio dal tettangolo di base dp ed altezza v.
Concludendo resta quindi stabilito che nei processi di compressione ed espansione del tipo descritto, senza scambio di calore, il lavoro in valore e segno è dato dalla differenza di entalpia tra lo stato iniziale e finale del gas.

Processi di compressione ed espansione nelle macchine rotative

Si ammette il processo a regime; si ammette cioè che il gas possa variare di stato in ogni punto del sistema ma non nel tempo.
Questo è il caso tipico delle macchinne operatrici rotative (compressori assiali , centrifughi, misti, vengtilatori, soffianti ecc.) e delle macchine motrici rotative (turbine, molinelli, ruote eoliche, ecc.).
Riferiamoci per esempio ad una girante di qualsiasi tipo (per esempio di tipo centifugo in fig.18) e supponiamo che la velocità del gas sia trascurabile entro i condotti di ingresso e di uscita; da questa ipotesi restrittiva ci libereremo in seguito.

Consideriamo due sezioni del condotto: una nel condotto di ingresso 1 e l'altro 2 nel condotto d'uscita.
L'unità di peso del gas nella sezione 1 fa il lavoro p₁ v₁; entro il dispositivo avviene la trasformazione che porta lo stato fisico da 1 a 2; all'uscta il gas dovendo vincere la pressione p₂ compie il lavoro p₂ v₂.
Con le convenzioni fatte al numero precedente si ricava:

${\displaystyle \ L=p_{1}\ v_{1}+\int _{1}^{2}p\ dv-p_{2}\ v_{2}}$

identica alla (26).
Vediamo che nulla è cambiato rispetto alle macchine alternative; la sola differenza, inessenziale dal punto di vista del processo, è nella modalità di rinnovo del gas che ora è continuo; anche per questo caso non si può parlare di ciclo ma di successione di fattifisici. Tutte le considerazioni precedentemente svolte sono valide per le macchine rotative.

Processi di compressione ed espansione nei condotti

Consideriamo il condotto di fig.19; in questo caso non ci sono scambi di lavoro con l'esterno mentre per generalità supporremo presenti scambi di calore. Il lavoro delle pressioni si manifesta in questo caso come variazione dell'energia cinetica. Per la conservazione dell'energia si ha dunque

${\displaystyle \ (29)\qquad p_{1}\ v_{1}+\int _{1}^{2}p\ dv-p_{2}\ v_{2}={\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}}$

Poichè per la (13')

${\displaystyle \ \int _{1}^{2}p\ dv=J\ Q-J\ C_{v}(T_{2}-T_{1})}$

si ottiene

${\displaystyle \ (30)\qquad J\ Q-J(i_{2}-i_{1})={\frac {V_{2}^{2}}{2g}}-{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}}$.

Se Q=0

${\displaystyle \ (31)\qquad J\ i_{1}+{\frac {V_{1}^{2}}{2g}}=J\ i_{2}+{\frac {V_{2}^{2}}{2g}}}$

relazione importante che esprime la conservazione dell'energia nel moto dei fluidi compressibili; se il fluido è incompressibile (cioè dv=0) la (29), poichè

${\displaystyle \ v_{1}=v_{2}={\frac {1}{\rho \ g}}}$

con ρ densità, diviene

${\displaystyle \ p_{1}+{\frac {\rho \ V_{1}^{2}}{2}}=p_{2}+{\frac {\rho \ V_{2}^{2}}{2}}}$

notissima relazione dovuta a Daniele Bernouilli.
Tra due sezioni molto vicine la (30) diviene

${\displaystyle \ (30')\qquad {\frac {V\ dV}{g}}=J\ dQ-J\ di=J\ dQ-J\ C_{v}\ dT-p\ dv-v\ dp}$

simile alla (28); per la (13') si ha poi più semplicemente

${\displaystyle \ (32)\qquad {\frac {V\ dV}{g}}=-v\ dp}$

analoga alla (28'); se non vi sono scambi di calore si ha ancora

${\displaystyle \ {\frac {V\ dV}{g}}=-J\ di}$.

Nel moto nei condootti quando non vi sono scambi di calore l'aumento dell'energia cinetica è uguale alla diminuizione dell'entalpia e viceversa.
Della (30') può darsi altra diretta dimostazione; si consideri la massa dm tras due sezioni molto vicine di un condotto (fig.20); dm=Ω ρ dx; rimoviamo i vincoli di questo sistema elementare sostituendo al confine di esso la distribuzione di pressioni dovute ai vincoli rimossi; si ha allora la distribuzione di pressioni uniformi p sulla faccia anteriore nel senso del moto, la distribuzione p+dp in senso contrario sulla faccia posteriore e la pressione

${\displaystyle \ p+{\frac {dp}{2}}}$

esercitata dalle pareti del condotto; la forza risultante dF nel senso del moto è

${\displaystyle \ p\ \Omega +(p+{\frac {dp}{2}})d\Omega -(p+dp)(\Omega +d\Omega )=dF}$

figura 20

trascurando le quantità del secondo ordine, si ha dF=-Ω dp; l'accelerazione a cui è sottoposta la massa elementare è

${\displaystyle \ {\frac {dV}{dt}}}$

si deduce dalla legge fondamentale della dinamica (forza=massa per accelerazione)

${\displaystyle \ \Omega \ p\ dx{\frac {dV}{dt}}=-\Omega \ dp}$

poichè

${\displaystyle \ g\ \rho \ v=1\qquad e\qquad {\frac {dx}{dt}}=V}$

si ottiene

${\displaystyle \ (32)\qquad {\frac {V\ dV}{g}}=-v\ dp}$

già trovata.

Caso generale

Entropia e entalpia

Processi adiabatici ed entropia costante ed entalpia costante nei condotti