수학에서 급수(級數, 영어: series, an)는 수열의 모든 항을 더한 것, 즉 수열의 합이다. 항의 개수가 유한한 유한급수(有限級數, 영어: finite series)와 항의 개수가 무한한 무한급수(無限級數, 영어: infinite series)로 분류된다. 무한급수의 경우, 항을 더해가면서 합이 어떤 값에 한없이 가까워지는 급수인 수렴급수와 그렇지 않은 발산 급수로 분류된다. 산술급수, 기하급수(등비급수)로도 분류할 수 있다. 급수의 항은 실수 · 복소수, 또는 벡터 · 행렬 · 함수 · 난수 등일 수 있으며, 이들은 주로 공식이나 알고리즘으로 표현된다. 유한급수는 대수학의 초등적인 방법으로도 충분히 다룰 수 있으나, 무한급수에 대한 깊이 있는 분석은 해석학적 수단, 특히 극한의 개념을 필요로 한다. 수열에는 Σ(시그마, sigma) 기호가 쓰인다.

정의

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수열  에 대한 (무한) 급수  는 수열의 항들의 형식적인 합이다. 즉,

 

급수  부분합(部分合, 영어: partial sum)  은 처음 오는 유한 개의 항에 대한 합이다. 즉,

 

부분합의 수열  이 수렴하면 이 급수를 수렴급수, 그렇지 않다면 발산 급수라고 한다. 수렴급수  은 그 부분합의 극한이며, 이 역시  로 표기한다. 즉,

 

 도 수렴하는 수렴급수를 절대 수렴급수, 그렇지 않은 수렴급수를 조건 수렴급수라고 한다.

가산 첨수 급수

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가산 무한 집합   및, 자연수 집합    사이의 일대일 대응  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 함수  에 대한 급수  는 다음과 같이 정의된다.

 

다만, 이 정의가 유효하려면, 급수  의 합이 일대일 대응  의 선택에 의존하지 않아야 한다. 만약 급수가 적어도 하나의  에 대하여 절대 수렴한다면, 다른 모든  에 대해서도 절대 수렴하며,  의 합이 같다. 만약 급수가 적어도 하나의  에 대하여 조건 수렴한다면, 다른 합을 갖게 되는  가 존재하며, 나아가 리만 재배열 정리에 따라, 임의의 주어진 합을 갖도록  를 취할 수 있다.

임의 첨수 급수

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임의의 집합(특히 비가산 집합)  가 주어졌다고 하자. 모든  에 대해  이라고 가정하자. 급수  를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

이때 집합  비가산 집합이면  이다. 즉  이라면

 

이며

 

이므로,  이 가산 개 유한 집합의 합집합이 되어 가산 집합이 되기 때문이다. 이에 기초하여, 함수  에 대한 급수  는 다음과 같이 가산 집합에 대한 정의로 귀결된다.

 

수렴성

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급수에게는 여러 유형의 수렴성이 존재하며, 이들 수렴성을 알아내는 많은 종류의 수렴 판정법이 존재한다.

발산 급수

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수렴급수가 아닌 급수를 발산 급수라고 한다.

예를 들어, 0이 아닌 상수  에 대해 상수항 급수

 

는 발산 급수이다.

또한 다음의 조화급수 역시 발산한다.

 
 
 
 
 
 
 

또한 이것은 아래의 리만 제타 함수  이기도 하다.

 

조건 수렴

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절대 수렴급수가 아닌 수렴급수를 보고 조건 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 교대급수

 

는 자기 자신은 수렴급수이나, 절댓값을 취한 조화급수는 발산 급수이므로, 조건 수렴급수이다.

절대 수렴

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급수  에 항별로 절댓값을 취한 급수  이 수렴급수라면, 원래 급수도 자동으로 수렴급수가 되며, 이 경우 원래 급수를 절대 수렴급수라고 한다.

예를 들어, 기하급수

 

는 자기 자신이 수렴급수이며, 절댓값을 취한

 

도 수렴급수이므로, 절대 수렴급수이다.

수렴 판정법

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  • (n항판정법) 만약 limn→∞ an = 0이지 않으면, ∑an은 발산한다.
  • (비교판정법) 궁극적으로 |an| ≤ |bn|인 경우, ∑bn이 절대수렴하면 ∑an도 절대수렴하며, ∑an이 절대수렴하지 않으면 ∑bn도 절대수렴하지 않는다.
  • (비판정법) 만약 궁극적으로 |an + 1|/|an| < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an + 1|/|an| > q이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (근판정법) 만약 궁극적으로 |an|1/n < q이게 되는 q < 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴한다. 만약 궁극적으로 |an|1/n > q 이게끔 하는 q > 1가 존재한다면, ∑an은 절대수렴하지 않는다.
  • (적분판정법) 만약 f 가 [1, ∞)에서 단조감소하고 f (n) = an(n = 1, 2, ...)이면, ∑an
    1
    f (x)dx는 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
  • (코시 응집판정법) an이 음이 아니며 단조감소하는 경우, ∑an과 ∑2ka2k은 동시에 수렴하거나 동시에 발산한다.
  • (교대급수판정법) 만약 an이 단조감소하며 0으로 수렴한다면, ∑(-1)nan은 수렴한다.
  • (디니 판정법)

같이 보기

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참고 문헌

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