Trigonometrinių, rodiklinės ir hiperbolinių funkcijų reikšmių skaičiavimas: Skirtumas tarp puslapio versijų

Elementariųjų funkcijų reikšmių skaičiavimas

Šių funkcijų reikšmių skaičiavimas pagrįstas grandininėmis (arba tolydžiosiomis) trupmenomis. Reikalingos žinios apie tas trupmenas pateiktos toliau.

Išvardytų funkcijų reikšmių skaičiavimas yra susijęs su konkrečia grandinine trupmena, gaunama išskleidus funkcją ${\displaystyle \operatorname {th} x.}$ Todėl pirmiausia aptarsime, kaip skaičiuoti funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reikšmes, o paskui - kitų funkcijų reikšmes.

Toliau ${\displaystyle \operatorname {ch} x,\;\;\operatorname {sh} x,\;\;\operatorname {th} x\;}$ yra atitinkamai hiperbolinis kosinusas, hiperbolinis sinusas ir hiperbolinis tangentas. Apie hiperbolines funkcjas parašyta čia:

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_functions

1. Kai kurios žinios apie grandinines trupmenas.

Baigtine grandinine trupmena ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}}$ vadinamas šitoks reiškinys:

[ https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_continued_fraction ]

${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+{\cfrac {a_{3}}{b_{3}+\quad \quad }}}}}}\quad \quad (8.95)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \ddots }$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad +{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

Skaičiai ${\displaystyle a_{1},\;a_{2},\;...,\;a_{n}}$ dažniausiai vadinami daliniai skaitikliais, o ${\displaystyle b_{1},\;b_{2},\;...,\;b_{n}}$ – daliniais vardikliais.

Grandininės trupmenos

${\displaystyle {\frac {P_{0}}{Q_{0}}}={\frac {b_{0}}{1}},\quad }$ ${\displaystyle {\frac {P_{1}}{Q_{1}}}=b_{0}+{\frac {b_{1}}{b_{1}}},\quad }$ ${\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}\quad }}}},\quad ...\quad (8.96)}$

vadinamos grandininės trupmenos ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}}$ reduktais.

Tarę, kad ${\displaystyle P_{-1}=1,\;\;Q_{-1}=0,}$ iš (8.96) lygybių, išreiškiančių reduktus ${\displaystyle {\frac {P_{k}}{Q_{k}}}\;}$ (${\displaystyle k=1,\;2,\;...,\;n}$), galime gauti formules, siejančias ${\displaystyle P_{k}}$ su ${\displaystyle P_{k-1}}$ bei ${\displaystyle P_{k-2}}$ ir ${\displaystyle Q_{k}}$ su ${\displaystyle Q_{k-1}}$ bei ${\displaystyle Q_{k-2}:}$

${\displaystyle {\begin{cases}P_{k}=b_{k}P_{k-1}+a_{k}P_{k-2},&\\Q_{k}=b_{k}Q_{k-1}+a_{k}Q_{k-2}.&\end{cases}}\quad \quad (8.97)}$

[Parodysime, kad jos teisingos, kai k=2.

${\displaystyle P_{-1}=1,\;\;Q_{-1}=0,}$

${\displaystyle P_{k-2}=P_{0}=b_{0},\;\;Q_{k-2}=Q_{0}=1,}$ (iš (8.96)),

${\displaystyle P_{1}=b_{1}P_{0}+a_{1}P_{-1}=b_{1}b_{0}+a_{1}\cdot 1=b_{1}b_{0}+a_{1},}$

${\displaystyle Q_{1}=b_{1}Q_{0}+a_{1}Q_{-1}=b_{1}\cdot 1+a_{1}\cdot 0=b_{1},}$

${\displaystyle P_{2}=b_{2}P_{1}+a_{2}P_{0}=b_{2}(b_{1}b_{0}+a_{1})+a_{2}b_{0}=b_{2}b_{1}b_{0}+b_{2}a_{1}+a_{2}b_{0},}$

${\displaystyle Q_{2}=b_{2}Q_{1}+a_{2}Q_{0}=b_{2}b_{1}+a_{2}\cdot 1=b_{2}b_{1}+a_{2}.}$

Gauname

${\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}={\frac {b_{2}b_{1}b_{0}+b_{2}a_{1}+a_{2}b_{0}}{b_{2}b_{1}+a_{2}}}.}$

O iš (8.96) formulės gauname

${\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}\quad }}}}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}}{\cfrac {b_{1}b_{2}+a_{2}}{b_{2}\quad }}}=b_{0}+{\cfrac {a_{1}b_{2}}{b_{1}b_{2}+a_{2}}}={\frac {b_{0}(b_{1}b_{2}+a_{2})+a_{1}b_{2}}{b_{1}b_{2}+a_{2}}}={\frac {b_{0}b_{1}b_{2}+b_{0}a_{2}+a_{1}b_{2}}{b_{1}b_{2}+a_{2}}}.}$

Matome, kad trupmenos ${\displaystyle {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}}$ išraiška abiais būdais skaičiuojant yra tokia pati.]

Mums bus reikalinga speciali formulė, išreiškianti trupmeną ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}},}$ apibrėžtą (8.95) reiškiniu. Tuo tikslu palyginsime du tos trupmenos reduktus ${\displaystyle {\frac {P_{k}}{Q_{k}}}}$ ir ${\displaystyle {\frac {P_{k-1}}{Q_{k-1}}}.}$ Tų reduktų skirtumas, savaime aišku, lygus

${\displaystyle {\frac {P_{k}}{Q_{k}}}-{\frac {P_{k-1}}{Q_{k-1}}}={\frac {P_{k}Q_{k-1}-Q_{k}P_{k-1}}{Q_{k-1}Q_{k}}}.\quad (8.98)}$

Paskutinės trupmenos skaitiklį, atsižvelgdami į (8.97) lygybes, galime pertvarkyti šitaip

${\displaystyle P_{k}Q_{k-1}-Q_{k}P_{k-1}=(b_{k}P_{k-1}+a_{k}P_{k-2})Q_{k-1}-(b_{k}Q_{k-1}+a_{k}Q_{k-2})P_{k-1}=-a_{k}[P_{k-1}Q_{k-2}-Q_{k-1}P_{k-2}].\quad (8.99)}$

Paeiliui remdamiesi (8.99) sąryšiu reikšmėms ${\displaystyle k,\;k-1,\;k-2,\;...,\;1\;}$ ir atsižvelgdami į tai, kad ${\displaystyle P_{-1}=1,\;\;Q_{-1}=0,\;\;Q_{0}=1,\;}$ (8.98) trupmeną išreikšime šitaip:

${\displaystyle {\frac {P_{k}}{Q_{k}}}-{\frac {P_{k-1}}{Q_{k-1}}}={\frac {-a_{k}[P_{k-1}Q_{k-2}-Q_{k-1}P_{k-2}]}{Q_{k-1}Q_{k}}}={\frac {-a_{k}(-a_{k-1})[P_{k-2}Q_{k-3}-Q_{k-2}P_{k-3}]}{Q_{k-1}Q_{k}}}=}$

${\displaystyle ={\frac {-a_{k}(-a_{k-1})(-a_{k-2})[P_{k-3}Q_{k-4}-Q_{k-3}P_{k-4}]}{Q_{k-1}Q_{k}}}=(-1)^{k+1}a_{k}a_{k-1}a_{k-2}\;...\;a_{1}{\frac {1}{Q_{k-1}Q_{k}}}.\quad (8.100)}$

[ ${\displaystyle P_{k}Q_{k-1}-Q_{k}P_{k-1}=-a_{k}[P_{k-1}Q_{k-2}-Q_{k-1}P_{k-2}].}$

Kai k=1, gauname:

${\displaystyle P_{1}Q_{0}-Q_{1}P_{0}=-a_{1}[P_{0}Q_{-1}-Q_{0}P_{-1}]=-a_{1}[b_{0}\cdot 0-1\cdot 1]=a_{1}.}$ ]

Kadangi

${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}={\frac {P_{0}}{Q_{0}}}+\left({\frac {P_{1}}{Q_{1}}}-{\frac {P_{0}}{Q_{0}}}\right)+\left({\frac {P_{2}}{Q_{2}}}-{\frac {P_{1}}{Q_{1}}}\right)+...+\left({\frac {P_{n}}{Q_{n}}}-{\frac {P_{n-1}}{Q_{n-1}}}\right),}$

tai, pasinaudoję (8.100) lygybe, gausime reikalingą konkrečią formulę trupmenai ${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}}$

${\displaystyle {\frac {P_{n}}{Q_{n}}}=b_{0}+{\frac {a_{1}}{Q_{0}Q_{1}}}-{\frac {a_{1}a_{2}}{Q_{1}Q_{2}}}+{\frac {a_{1}a_{2}a_{3}}{Q_{2}Q_{3}}}-...+(-1)^{n+1}{\frac {a_{1}a_{2}\;...\;a_{n}}{Q_{n-1}Q_{n}}}.\quad (8.101)}$

2. Funkcijos th(x) reiškimas grandinine trupmena.

Šiame skirsnyje aprašomą funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reiškimo grandinine trupmena metodą pirmasis pritaikė Šliomilchas*, dėstydamas grandinine trupmena funkciją ${\displaystyle \operatorname {tg} x.}$

Imkime funkciją ${\displaystyle y=\operatorname {ch} {\sqrt {x}},}$ kai ${\displaystyle x>0.}$ Du kartus ją išdiferencijavę ir atlikę paprastus pertvarkymus, gauname tapatybes:

${\displaystyle 2{\sqrt {x}}y'=\operatorname {sh} {\sqrt {x}},\quad 2{\sqrt {x}}y''+{\frac {y'}{\sqrt {x}}}-{\frac {y}{2{\sqrt {x}}}}=0.}$

[ ${\displaystyle y'=(\operatorname {ch} {\sqrt {x}})'=\operatorname {sh} {\sqrt {x}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}$

${\displaystyle y''=(\operatorname {sh} {\sqrt {x}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}})'={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+\operatorname {sh} {\sqrt {x}}({\frac {1}{2{\sqrt {x}}}})'={\frac {1}{4x}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}+\operatorname {sh} {\sqrt {x}}\cdot {\frac {-1\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{2({\sqrt {x}})^{2}}}={\frac {\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}{4x}}-{\frac {1}{4{\sqrt {x^{3}}}}}\operatorname {sh} {\sqrt {x}}.}$

Bet antra y išvestinė nieko nepasako. Tiesiog reikia žinot, kad (sh(x))'=ch(x). ]

Iš lygybės

${\displaystyle 2{\sqrt {x}}y''+{\frac {y'}{\sqrt {x}}}-{\frac {y}{2{\sqrt {x}}}}=0}$

išplaukia tapatybė, kuri teisinga, kai ${\displaystyle x>0}$ (šios lygybės abi puses reikia padauginti iš ${\displaystyle 2{\sqrt {x}}}$):

${\displaystyle 4xy''+2y'-y=0.\quad (8.102)}$

Šią tapatybę diferencijuodami toliau, gausime

${\displaystyle {\begin{cases}4y''+4xy'''+2y''-y'=4xy'''+(4+2)y''-y'=0,&\\4y'''+4xy^{(4)}+6y'''-y''=4xy^{(4)}+(4\cdot 2+2)y'''-y''=0,&\\........................................&\\4xy^{(n+2)}+(4n+2)y^{(n+1)}-y^{(n)}=0.&\end{cases}}\quad \quad (8.103)}$

Santykį ${\displaystyle {\frac {y^{(n+1)}}{y^{(n)}}}}$ pažymėsime simboliu ${\displaystyle u_{n+1}.}$ Tada iš paskutinės (8.103) lygybės gausime tapatybę (padaliję tą lygybę iš ${\displaystyle y^{(n+1)}}$)

${\displaystyle 4xu_{n+2}+4n+2={\frac {1}{u_{n+1}}},}$

iš kurios

${\displaystyle u_{n+1}={\frac {1}{4xu_{n+2}+4n+2}}={\frac {\frac {1}{2}}{2n+1+2xu_{n+2}}}.\quad (8.104)}$

Kadangi

${\displaystyle u_{1}={\frac {y'}{y}}={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}}={\frac {\operatorname {th} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}},}$

tai (8.104) sąryšį, kai ${\displaystyle n=0,}$ galima užrašyti šitaip:

${\displaystyle \operatorname {th} {\sqrt {x}}=u_{1}\cdot 2{\sqrt {x}}={\frac {{\frac {1}{2}}\cdot 2{\sqrt {x}}}{2\cdot 0+1+2xu_{0+2}}}={\frac {\sqrt {x}}{1+2xu_{2}}}.}$

Dešinėje paskutinės formulės pusėje vietoj ${\displaystyle u_{2}}$ įrašysime jo išraišką. gautą iš (8.104) lygybės, kai ${\displaystyle n=1.}$ Tuomet

${\displaystyle \operatorname {th} {\sqrt {x}}={\cfrac {\sqrt {x}}{1+2x\cdot {\cfrac {\frac {1}{2}}{2\cdot 1+1+2xu_{1+2}}}}}={\cfrac {\sqrt {x}}{1+{\cfrac {x}{3+2xu_{3}}}}}.}$

Šiame reiškinyje vietoje ${\displaystyle u_{3}}$ galima įrašyti jo išraišką iš (8.104) lygybės, kai ${\displaystyle n=2.}$ Tokias operacijas galime atlikti kiek norime kartų. Galų gale gausime funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} {\sqrt {x}}}$ dėstinį grandinine trupmena. Tame dėstinyje vietoj ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$ įrašę ${\displaystyle x,}$ turėsime mums reikalingą funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ dėstinį baigtine grandinine trupmena:

${\displaystyle \operatorname {th} x={\cfrac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\quad \quad }}}}}}\quad \quad (8.105)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \ddots }$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad +{\frac {x^{2}}{2n+1+2x^{2}u_{n+2}}}}$

__________________

* Schlömilch O. Ueber den Kettenbruch für tg x. Zs. Math. u. Phys. 2(1857), 137–165.

3. Funkcijos th(x) reikšmių skaičiavimas. Skaičiavimo paklaidos įvertinimas.

Skaičiuojant funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reikšmes elektronine skaičiavimo mašina, dažniausiai naudojamsi (8.105) formule, iš kurios išbraukiamas narys ${\displaystyle 2x^{2}u_{n+2}.}$ Tuomet skaičius n paprastai laikomas lygiu 6 (n=6), o x reikšmių moduliai apribojami skaičiumi ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\approx 0.785398.}$

Įvertinsime paklaidą su bet kokiu n.

Funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reikšmės artinį, gautą iš (8.105) formulės, išbraukus narį ${\displaystyle 2x^{2}u_{n+2},}$ žymėsime ${\displaystyle {\overline {\operatorname {th} }}x.}$ Pastebėsime, kad ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ ir ${\displaystyle {\overline {\operatorname {th} }}x}$ yra grandininės trupmenos, kurias atitinkamai žymėsime ${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{Q_{n+1}}}}$ ir ${\displaystyle {\frac {{\overline {P}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n+1}}}.}$

Surašykime tų trupmenų dalinius skaitiklius ${\displaystyle a_{i}}$ ir ${\displaystyle {\overline {a}}_{i}}$ bei dalinius vardiklius ${\displaystyle b_{i}}$ ir ${\displaystyle {\overline {b}}_{i}}$ (brūkšneliu virš raidės žymėsime skaičius, susijusius su trupmena ${\displaystyle {\frac {{\overline {P}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n+1}}}}$):

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}={\overline {a}}_{1}=x,\;\;a_{2}={\overline {a}}_{2}=x^{2},\;\;a_{3}={\overline {a}}_{3}=x^{2},\;\;...,\;\;a_{n+1}={\overline {a}}_{n+1}=x^{2},&\\b_{0}={\overline {b}}_{0}=0,\;\;b_{1}={\overline {b}}_{1}=1,\;\;b_{2}={\overline {b}}_{2}=3,\;\;b_{3}={\overline {b}}_{3}=5,\;\;...,\;\;b_{n}={\overline {b}}_{n}=2n-1,&\\b_{n+1}=2n+1+2x^{2}u_{n+2},\;\;{\overline {b}}_{n+1}=2n+1.&\end{cases}}\quad \quad (8.106)}$

Kadangi trupmenose ${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{Q_{n+1}}}}$ ir ${\displaystyle {\frac {{\overline {P}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n+1}}}}$ turime ${\displaystyle Q_{-1}={\overline {Q}}_{-1}=0,\;\;Q_{0}={\overline {Q}}_{0}=1,}$ tai, remdamiesi (8.106) formulėmis ir (8.97) sąryšiais, gauname šitokias lygybes

${\displaystyle {\begin{cases}Q_{1}={\overline {Q}}_{1},\;\;Q_{2}={\overline {Q}}_{2},\;\;Q_{3}={\overline {Q}}_{3},\;\;...,\;\;Q_{n}={\overline {Q}}_{n},&\\Q_{n+1}=(2n+1+2x^{2}u_{n+2}){\overline {Q}}_{n}+x^{2}{\overline {Q}}_{n-1},&\\{\overline {Q}}_{n+1}=(2n+1){\overline {Q}}_{n}+x^{2}{\overline {Q}}_{n-1}.&\end{cases}}\quad \quad (8.107)}$

Dabar abi trupmenas ${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{Q_{n+1}}}}$ ir ${\displaystyle {\frac {{\overline {P}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n+1}}}}$ išreikšime pagal (8.101) formulę. Iš (8.106) ir (8.107) lygybių matyti, kad tos išraiškos viena nuo kitos skirsis tik paskutiniu dėmeniu. Todėl skirtumas ${\displaystyle {\frac {P_{n+1}}{Q_{n+1}}}-{\frac {{\overline {P}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n+1}}}\;}$ bus lygus tų trupmenų išraškų pagal (8.101) formulę paskutinių dėmenų skirtumui. Kadangi aptariamųjų trupmenų skirtumas lygus ${\displaystyle \operatorname {th} x-{\overline {\operatorname {th} }}x,}$ tai, pasinaudoję (8.106) lygybėmis, gauname formulę

${\displaystyle \operatorname {th} x-{\overline {\operatorname {th} }}x=(-1)^{n+2}x^{2n+1}\left[{\frac {1}{Q_{n}Q_{n+1}}}-{\frac {1}{{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right].}$

Šią formulę, remiantis (8.107) lygybėmis, galima perrašyti šitaip:

${\displaystyle \operatorname {th} x-{\overline {\operatorname {th} }}x=(-1)^{n+2}x^{2n+1}\left[{\frac {1}{{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}}}-{\frac {1}{{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right]=(-1)^{n+2}x^{2n+1}\left[{\frac {{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}-{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right]=(-1)^{n+2}x^{2n+1}\left[{\frac {{\overline {Q}}_{n+1}-Q_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right]=}$

${\displaystyle =(-1)^{n+1}x^{2n+1}\left[{\frac {Q_{n+1}-{\overline {Q}}_{n+1}}{{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right]=(-1)^{n+1}x^{2n+1}\left[{\frac {[(2n+1+2x^{2}u_{n+2}){\overline {Q}}_{n}+x^{2}{\overline {Q}}_{n-1}]-[(2n+1){\overline {Q}}_{n}+x^{2}{\overline {Q}}_{n-1}]}{{\overline {Q}}_{n}Q_{n+1}{\overline {Q}}_{n+1}}}\right]=}$

${\displaystyle =(-1)^{n+1}{\frac {x^{2n+1}}{{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}}}\left[{\frac {2x^{2}u_{n+2}{\overline {Q}}_{n}}{Q_{n+1}}}\right]=}$

${\displaystyle =(-1)^{n+1}{\frac {x^{2n+1}}{{\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}}}\left[{\frac {2x^{2}u_{n+2}{\overline {Q}}_{n}}{2x^{2}u_{n+2}{\overline {Q}}_{n}+(2n+1){\overline {Q}}_{n}+x^{2}{\overline {Q}}_{n-1}}}\right].\quad (8.108)}$

Kad gautume reikalingą įvertį, pasinaudosime dviem nelygybėmis, kurias įrodysime vėliau.

Kai ${\displaystyle x\geq 0,}$ su bet kokiu ${\displaystyle k\geq 1}$ teisinga nelygybė

${\displaystyle Q_{k}\geq (2k-1)!!.\quad (8.109)}$

Kai ${\displaystyle x>0,}$ skaičius ${\displaystyle u_{n+2}}$ yra teigiamas:

${\displaystyle u_{n+2}>0.\quad (8.110)}$

Dabar įvertinsime skirtumą ${\displaystyle \operatorname {th} x-{\overline {\operatorname {th} }}x,}$ tarę, kad x>0. Kadangi ${\displaystyle u_{n+2}}$ ir visi ${\displaystyle {\overline {Q}}_{k}}$ yra teigiami, kai x>0, tai reiškinys, parašytas (8.108) lygybės dešinės pusės laužtiniuose skliaustuose, nėra didesnis už vienetą. Be to, iš (8.109) gauname nelygybę

${\displaystyle {\overline {Q}}_{n}{\overline {Q}}_{n+1}\geq [(2n-1)!!]^{2}(2n+1).}$

Todėl, kai x>0, su bet kokiu numeriu n bus teisingas toks paklaidos įvertis:

${\displaystyle |\operatorname {th} x-{\overline {\operatorname {th} }}x|\leq {\frac {x^{2n+1}}{[(2n-1)!!]^{2}(2n+1)}}.\quad (8.111)}$

Apskaičiuosime paklaidos įvertį, kai n=6, o x reikšmės tenkina nelygybes ${\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{4}}.}$ Kai n=6, skaičius ${\displaystyle 2n-1}$ lygus 11, o skaičius ${\displaystyle 2n+1}$ lygus 13. Kadangi ${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}<0.8,}$ tai ${\displaystyle x^{13}<(0.8)^{13}<5.6\cdot 10^{-2}.}$ Lengva apskaičiuoti, kad ${\displaystyle 11!!=10395.}$ Todėl iš (8.111) formulės įsitikiname, kad ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reikšmės apytikslio skaičiavimo paklaida, kai n=6, ne didesnė už ${\displaystyle 4\cdot 10^{-11}.}$

[${\displaystyle 0.8^{13}=0.0549755813888<5.5\cdot 10^{-2}.}$

11!! = 11*9*7*5*3 = 10395. ${\displaystyle {\frac {x^{2n+1}}{[(2n-1)!!]^{2}(2n+1)}}={\frac {0.0549755813888}{10395^{2}\cdot 13}}={\frac {0.0549755813888}{108056025\cdot 13}}=}$

= 0.0549755813888/(10395^2 * 13) = 3.9136095151210110325069440028555e-11 ${\displaystyle \approx 3.9136\cdot 10^{-11}.}$]

Dabar įrodysime, kad (8.109) ir (8.110) nelygybės yra teisingos.

(8.109) nelygybės įrodymas.

Iš pradžių įrodysime, kad visi ${\displaystyle {\overline {Q}}_{k}}$ yra neneigiami. Iš (8.106) formulių išplaukia, kad ${\displaystyle {\overline {a}}_{k}}$ ir ${\displaystyle {\overline {b}}_{k}}$ neneigiami, kai ${\displaystyle x\geq 0}$ ir ${\displaystyle k\leq n.}$ Be to, jau sakėme, kad ${\displaystyle {\overline {Q}}_{-1}=0,\;\;{\overline {Q}}_{0}=1.}$ Iš to ir iš antrosios (8.97) formulės aišku, kad visi ${\displaystyle {\overline {Q}}_{k}}$ neneigiami, kai ${\displaystyle k\leq n.}$

Iš antrosios (8.97) formulės ir iš to, kad ${\displaystyle a_{k}}$ ir ${\displaystyle {\overline {Q}}_{k}}$ neneigiami, išplaukia nelygybė

${\displaystyle {\overline {Q}}_{k}\geq b_{k}{\overline {Q}}_{k-1}.\quad (8.112)}$

Kadangi ${\displaystyle {\overline {Q}}_{0}=1,}$ o ${\displaystyle b_{k}=2k-1,}$ kai ${\displaystyle 1\leq k\leq n,}$ tai paeiliui iš (8.112) nelygybės gauname ${\displaystyle {\overline {Q}}_{1}\geq 1,\;\;{\overline {Q}}_{2}\geq 3\cdot 1=3,\;\;{\overline {Q}}_{3}\geq 5\cdot 3=15,\;\;{\overline {Q}}_{4}\geq (2\cdot 4-1){\overline {Q}}_{3}=7\cdot 5\cdot 3=105,\;\;...,\;\;{\overline {Q}}_{k}\geq (2k-1)!!.}$ Įsitikinome, kad (8.109) nelygybė yra teisinga.

(8.110) nelygybės įrodymas.

Užtenka įrodyti, kad funkcijos ${\displaystyle y=\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}$ visos išvestinės, kai x>0, yra teigiamos. Savaime aišku, kartu įrodysime ir (8.110) nelygybę, nes ${\displaystyle u_{n+2}={\frac {y^{(n+2)}}{y^{(n+1)}}}.}$

Padauginę (8.103) lygybę iš ${\displaystyle {\frac {1}{4}}x^{n-{\frac {1}{2}}},}$ gautąją lygybę galime užrašyti šitaip:

${\displaystyle \left[x^{n+{\frac {1}{2}}}y^{(n+1)}\right]'={\frac {1}{4}}x^{n-{\frac {1}{2}}}y^{(n)}.\quad (8.113)}$

[ ${\displaystyle \;4xy^{(n+2)}+(4n+2)y^{(n+1)}-y^{(n)}=0\;\;|\cdot {\frac {1}{4}}x^{n-{\frac {1}{2}}},}$

${\displaystyle x^{n+{\frac {1}{2}}}y^{(n+2)}+(n+{\frac {1}{2}})x^{n-{\frac {1}{2}}}y^{(n+1)}-{\frac {1}{4}}x^{n-{\frac {1}{2}}}y^{(n)}=0.}$

${\displaystyle \left[x^{n+{\frac {1}{2}}}y^{(n+1)}\right]'=(n+{\frac {1}{2}})x^{n-{\frac {1}{2}}}y^{(n+1)}+x^{n+{\frac {1}{2}}}y^{(n+2)}.}$ ]

Pirmiausia įsitikinsime, kad

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}\left[x^{n+{\frac {1}{2}}}y^{(n+1)}(x)\right]=0.\quad (8.114)}$

Tam reikalui užtenka įrodyti, kad funkcija

${\displaystyle x^{n}y^{(n+1)}(x)\quad (8.115)}$

lieka aprėžta, kai ${\displaystyle x\to 0+0}$ (kai x artėja prie nulio iš dešinės). Iš formulių ${\displaystyle y=\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}$ ir ${\displaystyle y'={\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}}$ išplaukia, kad funckijos ${\displaystyle y(x)}$ ir ${\displaystyle y'(x)}$ yra aprėžtos, kai ${\displaystyle x\to 0+0.}$

[Kad funkcija ${\displaystyle y'(x)}$ yra aprėžta, įrodoma, pritaikius funkcijai ${\displaystyle y'(x)}$ Lopitalio taisyklę:

${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}{\frac {\operatorname {sh} {\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {(\operatorname {sh} {\sqrt {x}})'}{(2{\sqrt {x}})'}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}}{2\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\operatorname {ch} {\sqrt {x}}=\lim _{x\to 0+0}{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{\sqrt {x}}+e^{-{\sqrt {x}}}}{2}}={\frac {1}{4}}(e^{0}+e^{-0})={\frac {1}{4}}(1+{\frac {1}{e^{0}}})={\frac {1}{2}}.}$]

Tačiau tuomet iš (8.102) lygybės aišku, kad ir funkcija ${\displaystyle xy''(x)}$ lieka aprėžta, kai ${\displaystyle x\to 0+0.}$

[${\displaystyle 4xy''+2y'-y=0.\quad (8.102)}$

${\displaystyle 4xy''=-2y'+y.\quad (A)}$

Lygybėje (A) dešinė pusė yra aprėžta, kai ${\displaystyle x\to 0+0.}$ Todėl aprėžta ir kairė pusė. Be to, ${\displaystyle \lim _{x\to 0+0}(-2y'+y)=-2\cdot {\frac {1}{2}}+1=0.}$]

Toliau matematinės indukcijos metodu, remdamiesi paskutiniąją (8.103) lygybe, įrodome, kad funkcija ${\displaystyle x^{n}y^{(n+1)}(x)}$ yra aprėžta, kai ${\displaystyle x\to 0+0,}$ nepriklausomai nuo numerio n. Iš to aišku, kad (8.114) lygybė yra teisinga.

Dabar įsitikinsime, kad, imant bet kokį neneigiamą sveikąjį skaičių n, išvestinė

${\displaystyle y^{(n)}(x)\quad (8.116)}$

yra teigiama pustiesėje x>0. Savaime aišku, ${\displaystyle y^{(0)}(x)=y(x)=\operatorname {ch} {\sqrt {x}}\;}$ pustiesėje x>0 yra teigiama. Tarkime, kad ${\displaystyle y^{(n)}(x)}$ pustiesėje x>0 yra teigiama, kai n – koks nors fiksuotas numeris. Įsitikinsime, kad tuomet išvestinė ${\displaystyle y^{(n+1)}(x)}$ pustiesėje x>0 irgi yra teigiama. Iš (8.113) lygybės matyti, kad jos kairėje pusėje parašyta išvestinė yra teigiama, kai x>0, o tai reiškia, kad funkcija ${\displaystyle x^{n+{1 \over 2}}y^{(n+1)}(x)}$ pustiesėje x>0 didėja. Remdamiesi (8.114) lygybe, galime spręsti, kad ta funkcija pustiesėje x>0 yra teigiama. Vadinasi, ${\displaystyle y^{(n+1)}(x)>0,}$ kai x>0, ir (8.110) nelygybė įrodyta.

4. Hiperbolinio sinuso, hiperbolinio kosinuso ir rodiklinės funkcijos reikšmių skaičiavimas.

Toliau simboliu ${\displaystyle S_{n}(t)}$ žymėsime grandininę trupmeną

${\displaystyle S_{n}(t)=1+{\cfrac {t}{3+{\cfrac {t}{5+{\cfrac {t}{7+\quad \quad }}}}}}\quad \quad (8.117)}$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \ddots }$

${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad \quad }$ ${\displaystyle \quad \quad +{\frac {t}{2n+1}}}$

Elektroninei skaičiavimo mašinai dažniausiai sudaroma tos trupmenos skaičiavimo programa. Ja naudojantis, galima lengvai sudaryti ir hiperbolinio tangento reikšmių skaičiavimo programą, nes, kaip išsiaiškinome praeitame skirsnyje, funkcijos ${\displaystyle \operatorname {th} x}$ reikšmės artinį galima apskaičiuoti pagal formulę

${\displaystyle \operatorname {th} x\approx {\frac {x}{S_{n}(x^{2})}}.\quad (8.118)}$

Be to, praeituose skirsniuose paaiškėjo, kad, didinant n, skaičiavimo tikslumas didėja ir paklaida artėja prie nulio.

Funkcijas ${\displaystyle \operatorname {sh} 2x,\;\;\operatorname {ch} 2x\;}$ ir ${\displaystyle e^{2x},}$ remiantis formulėmis

${\displaystyle \operatorname {sh} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}},\;\;\;\operatorname {ch} 2x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}},\;\;\;e^{2x}={\frac {1+\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} x}},}$

galima išreikšti hiperbolinio tangento funkcijomis. Iš tų formulių ir (8.118) lygybės gauname šitokias formules išvardytųjų funkcijų reikšmių artiniams skaičiuoti:

${\displaystyle \operatorname {sh} 2x={\frac {2\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}\approx \left(2{\frac {x}{S_{n}(x^{2})}}\right):\left(1-{\frac {x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}\right)=2{\frac {x}{S_{n}(x^{2})}}:{\frac {S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}={\frac {2x}{\frac {S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}{S_{n}(x^{2})}}}={\frac {2S_{n}(x^{2})\cdot x}{S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}},}$

${\displaystyle \operatorname {ch} 2x={\frac {1+\operatorname {th} ^{2}x}{1-\operatorname {th} ^{2}x}}\approx \left(1+{\frac {x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}\right):\left(1-{\frac {x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}\right)={\frac {S_{n}^{2}(x^{2})+x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}:{\frac {S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}={\frac {S_{n}^{2}(x^{2})+x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})}}\cdot {\frac {S_{n}^{2}(x^{2})}{S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}}={\frac {S_{n}^{2}(x^{2})+x^{2}}{S_{n}^{2}(x^{2})-x^{2}}},}$

${\displaystyle e^{2x}={\frac {1+\operatorname {th} x}{1-\operatorname {th} x}}\approx {\frac {1+{\frac {x}{S_{n}(x^{2})}}}{1-{\frac {x}{S_{n}(x^{2})}}}}=}$