Grenseverdi

I matematikk brukes begrepet grenseverdi til å betegne en verdi som en følge eller funksjon nærmer seg, når dens argument nærmer seg et bestemt punkt, eller uendelig.

Symbolet ${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)}$ betegner grenseverdien til funksjonen f når variabelen x nærmer seg a. Her kan a enten være et reelt tall eller ${\displaystyle +\infty }$ eller ${\displaystyle -\infty }$. Grenseverdien selv kan også være et reelt tall, eller ${\displaystyle +\infty }$ eller ${\displaystyle -\infty }$.

Den matematiske definisjonen er som følger: For en funksjon f, og reelle tall a og b, så er

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=b,}$

hvis det for ethvert reelt tall ε > 0 finnes et reelt tall δ > 0, slik at hvis x er et tall i definisjonsmengden til f, gjelder det at

${\displaystyle |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-b|<\epsilon .}$

Denne definisjonen kan uttrykkes slik: Forskjellen mellom f(x) og b kan gjøres så liten man vil, ved å velge x tilstrekkelig nær a.

Grenseverdier kan for eksempel brukes for å studere oppførselen til en funksjon i nærheten av punkter hvor den ikke er definert. Funksjonen

${\displaystyle f(x)={\frac {x^{2}-1}{x-1}}}$

er ikke definert i punktet x = 1, siden nevneren her er lik 0. Men hvis man lar x være et tall i nærheten av 1, ser man at f(x) vil være nær 2, og desto nærmere man lar x være 1, jo nærmere vil funksjonsverdien være 2. Derfor er

${\displaystyle \lim _{x\to 1}f(x)=2.}$