Матрица (математика)

У математици, матрица је правокутна таблица бројева, или опћенито, таблица која се састоји од апстрактних објеката који се могу збрајати и множити.

Матрице се користе за описивање линеарних једнаџби, за праћење коефицијената линеарних трансформација, као и за чување података који овисе од два параметра. Матрице се могу збрајати, множити и разлагати на разне начине, што их чини кључним концептом у линеарној алгебри и теорији матрица.

Хоризонталне се линије у матрици зову ретцима, а вертикалне ступцима матрице. Матрица са м редака и н ступаца се назива м-са-н матрицом (каже се и записује да је формата м×н) а м и н су димензије матрице.

Члан матрице А који се налази у и-том ретку и ј-том ступцу се назива (и,ј)-ти члан матрице А. Ово се записује као А_и,ј или А[и,ј]. Увијек се прво назначује редак, па ступац.

Често се пише ${\displaystyle A:=(a_{i,j})_{m\times n}}$ како би се дефинирала м × н матрица А чији се сваки члан А[и,ј] назива а_и,ј за све 1 ≤ и ≤ м и 1 ≤ ј ≤ н. Међутим, конвенција да и и ј почињу од 1 није универзална: неки програмски језици започињу од нуле, у ком случају имамо 0 ≤ и ≤ м − 1 и 0 ≤ ј ≤ н − 1.

Матрицу чија је једна од димензија једнака јединици често називамо вектором, и интерпретирамо је као елемент реалног координатног простора. 1 × н матрица (један редак и н ступаца) се назива вектор редак, а м × 1 матрица (један ступац и м редака) се назива вектор ступац.

Матрица

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\1&2&7\\4&9&2\\6&0&5\end{bmatrix}}}$

је 4×3 матрица. Елемент А[2,3] или а_2,3 је 7.

Матрица

${\displaystyle R={\begin{bmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8&9\end{bmatrix}}}$

је 1×9 матрица, или вектор редак са 9 елемената.

Ако узмемо матрице А и Б, димензија м-са-н, њихов зброј А + Б је м-са-н матрица, израчуната збрајањем одговарајућих елемената (т.ј. (А + Б)[и, ј] = А[и, ј] + Б[и, ј] ). На примјер:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}}$

Ако узмемо матрицу А и број ц, скаларни продукт цА се рачуна множењем скаларом ц сваког елемента А (т.ј. (цА)[и, ј] = цА[и, ј] ). На примјер:

${\displaystyle 2{\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot (-3)\\2\cdot 4&2\cdot (-2)&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}}$

Операције збрајања и множења скаларом претварају скуп M(м, н, Р) свих м-са-н матрица са реалним члановима у реални векторски простор димензије мн.

Множење двије матрице је добро дефинирано само ако је број ступаца лијеве матрице једнак броју редака десне матрице. Ако је А матрица димензија м-са-н, а Б је матрица димензија н-са-п, тада је њихов умножак АБ матрица димензија м-са-п (м редака, п ступаца) дан формулом:

${\displaystyle \,\!(AB)[i,j]=A[i,1]B[1,j]+A[i,2]B[2,j]+...+A[i,n]B[n,j]}$

за сваки пар и и ј.

На примјер:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}3&1\\2&1\\1&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1)&(1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0)\\((-1)\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1)&((-1)\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0)\\\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle ={\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\\end{bmatrix}}}$

Множење матрица има сљедећа својства:

• (АБ)C = А(БЦ) за све к-са-м матрице А, м-са-н матрице Б и н-са-п матрице C (асоцијативност).
• (А + Б)C = АЦ + БЦ за све м-са-н матрице А и Б и н-са-к матрице C (десна дистрибутивност).
• C(А + Б) = ЦА + ЦБ за све м-са-н матрице А и Б и к-са-м матрице C (лијева дистрибутивност).

Ваља знати да комутативност не вриједи у опћем случају; ако су дане матрице А и Б, чак и ако су оба умношка дефинирана, у опћем случају је АБ ≠ БА.

Посебно, скуп M(н, Р) свих квадратних матрица реда н је реална асоцијативна алгебра са јединицом, која је некомутативна за н ≥ 2.

Матрице могу на згодан начин представити линеарне трансформације јер множење матрица одговара слагању пресликавања, као што ће даље бити описано. Управо ово својство матрице чини моћном структуром података у вишим програмским језицима.

Овдје и у наставку, проматрамо Р^н као скуп ступаца или н-са-1 матрица. За свако линеарно пресликавање ф : Р^н → Р^м постоји јединствена м-са-н матрица А, таква да ф(x) = Аx за свако x у Р^н. Кажемо да матрица А представља линеарно пресликавање ф. Ако к-са-м матрица Б представља друго линеарно пресликавање г : Р^м → Р^к, тада је њихова композиција г о ф такођер линеарно пресликавање Р^м → Р^н, и представљено је управо матрицом БА. Ово слиједи из горепоменуте асоцијативности множења матрица.

Опћенито, линеарно пресликавање из н-димензионог векторског простора у м-димензиони векторски простор је представљено м-са-н матрицом, ако су изабране базе за сваки.

Ранг матрице А је димензија слике линеарног пресликавања представљеног са А; она је иста као димензија простора генерираног ретцима А, и такођер је исте димензије као простор генериран ступцима А.

Транспонирана матрица, матрице м-са-н, А је н-са-м матрица А^тр (некад се записује и као А^Т или ^тА), која настаје претварањем ступаца у ретке и редака у ступце, то јест А^тр[и, ј] = А[ј, и] за сваки и и ј. Ако А представља линеарно пресликавање у односу на двије базе, тада матрица А^тр представља линеарно пресликавање у односу на дуалне базе (види дуални простор).

Вриједи (А + Б)^тр = А^тр + Б^тр и (АБ)^тр = Б^тр А^тр.

• Ранг матрице