可以用導數嚟定義。如果試吓對隨便一個指數函數 求導,根據基本原理:
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會發現佢嘅導數等於佢自己乘一個數,所以為咗方便,將後面嗰個數 定義做 ,呢個時候嗰個特定嘅 就係最自然嘅底數,即數學常數 。
亦即係 ,轉換一吓
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得到
或 。
即係話 嘅定義係 ,入面嘅 趨於無限大。
如果用二項式定理展開佢,會變成:
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所以 亦可定義做 ,當中嘅 係階乘嘅意思。
當定義咗 之後,可以定義埋自然對數 。
所以 (對數律)。
然後 嘅導數就可以用連鎖律計:
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另一方面,睇返一開始用基本原理得到 嘅導數係 ,而家知道 。
再調位:
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因為 同埋上面對 嘅定義,所以:
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即
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用二項定理展開,過程同上面差唔多,會得到
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所以自然指數 可定義做
係一個無理數。可以用反證法證明。
假設 係一個有理數, 係正整數,同埋 :
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- ,當中嘅 係大於 嘅任意正整數。
- ,入面 係整數。
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所以 整數 + 小數,而左面嘅 係整數。
得出「整數=整數+小數」嘅矛盾,即係話原本嘅假設係錯, 唔係有理數,但 係實數,所以只能夠係無理數。
好多增長或衰減過程都會用到 ,就好似計利息咁,可以睇下複利。