Kettenwurzel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Eine Kettenwurzel ist ein Ausdruck der Form

,

wobei und eine Folge positiver reeller Zahlen ist.

Aus einer so definierten Kettenwurzel lässt sich die Kettenwurzel-Folge mit

,
,
,
, …

bilden.

Beispiele quadratischer Kettenwurzeln

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist , so sind Quadratwurzeln ().

  • Für ist
der Goldene Schnitt.
  • Für gilt
.
  • Näherungsweise gilt:
Mit :
Mit :
Mit :
Dieses letzte Beispiel verdeutlicht in besonderer Weise, dass trotz einer rapide anwachsenden Folge die zugehörige Kettenwurzel einen endlichen Wert annehmen kann.

Konvergenzkriterium

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei eine Kettenwurzel-Folge mit der zugrunde liegenden Kettenwurzel und der Folge positiver reeller Zahlen ().

Dann konvergiert genau dann, wenn es eine reelle Zahl gibt mit

.[1]

Alle Kettenwurzel-Folgen in den obigen Beispielen sind nach diesem Kriterium konvergent.

Konvergenz bei konstanten zugrundeliegenden Folgen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Grenzwerte bei speziellen konstanten Folgen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Konvergenzvergleich der Kettenwurzel-Folgen nach dem Konvergenzkriterium für verschiedene Folgen

Da in den ersten beiden Beispielen die Folge jeweils konstante Glieder hat, tritt für beliebiges jeder Rest-Abschnitt der betreffenden Kettenwurzel als Grenzwert von auf. Somit lässt sich jeweils folgendermaßen bestimmen, wobei stets nur die positive Lösung infrage kommt:

Im ersten Beispiel:
Im zweiten Beispiel:
[2]

Grenzwerte bei allgemeinen konstanten Folgen

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ersetzt man in den ersten beiden Beispielen allgemein die Zahlen bzw. durch , so ergibt sich analog:

Für ist beispielsweise der nächste ganzzahlige Grenzwert.

Einzelnachweise

[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
  1. Detlef Laugwitz: Kettenwurzeln und Kettenoperationen In: Elemente der Mathematik, Vol. 45, Nr. 4, Seiten 89–98, Basel, Juli 1990 http://doi.org/10.5169/seals-42415
  2. Unendliche Kettenbrüche und Kettenwurzeln aus hs-fulda.de, abgerufen am 3. Mai 2023