Ringa homomorfio

Algebraj strukturoj
Grupo-similaj Grupo-teorio Duvalenta operacio A Asocieco • N Neŭtrala elemento • I Inversa elemento • K Komuteco Abela grupo (ANIK) • Grupo (ANI) • Monoido (AN) • Duongrupo (A) • Magmo Kvazaŭgrupo • Lopo • Lie-grupo • Cikla grupo • Simetria grupo Grupa homomorfio • Normala subgrupo
Ringo-similaj Ringo-teorio Distribueco Ringo • Komuta ringo • Integreca ringo • Korpo • Kampo Ringa homomorfio • Nuldivizoro • Idealo
Modulo-similaj Lineara algebro Modulo • Vektora spaco Lineara transformo • Bazo • Dimensio
v • d • r

En ringo-teorio, ringa homomorfio estas funkcio inter du ringoj konservanta la algebran strukturon (adicion kaj multiplikon) de la ringoj.

Se ${\displaystyle (R,0_{R},+,\cdot )}$ kaj ${\displaystyle (S,0_{S},+,\cdot )}$ estas ringoj, tiam homomorfio de ${\displaystyle R}$ al ${\displaystyle S}$ estas funkcio ${\displaystyle f\colon R\to S}$ plenumanta la jenajn aksiomojn:

• ${\displaystyle f\colon (R,0_{R},+)\to (S,0_{S},+)}$ estas grupa homomorfio inter komutaj grupoj. Alivorte, ${\displaystyle f(r+r')=f(r)+f(r')}$ por iuj ajn ${\displaystyle r,r'\in R}$. (Aŭtomate, do, ${\displaystyle f(0_{R})=0_{S}}$, kaj ${\displaystyle f(-r)=-f(r)}$.)
• ${\displaystyle f\colon (R,\cdot )\to (S,\cdot )}$ estas homomorfio inter duongrupoj. Alivorte, ${\displaystyle f(r\cdot r')=f(r)\cdot f(r')}$ por iuj ajn ${\displaystyle r,r'\in R}$.

En la kunteksto de unuohavaj ringoj oni ofte aldonas la postulon ke la funkcio ankaŭ konservu la unuon (t.e. multiplikan neŭtralan elementon). Pli detale:

Se ${\displaystyle (R,0_{R},+,1_{R},\cdot )}$ kaj ${\displaystyle (S,0_{S},+,1_{S},\cdot )}$ estas unuohavaj ringoj, homomorfio de ${\displaystyle R}$ al ${\displaystyle S}$ estas funkcio ${\displaystyle f:R\to S}$ plenumanta la du suprajn aksiomojn kaj aldone:

• La bildo de unuo estu unuo, t.e. ${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$.

Por iu ringo R, estu

${\displaystyle f:R\to R^{2\times 2}}$

${\displaystyle r\mapsto f(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&0\end{bmatrix}}}$

Tiam ${\displaystyle f}$ plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, sed

${\displaystyle f(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&0\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}}$

do la bildo de la unuo en ${\displaystyle R}$ ne estas la unuo en ${\displaystyle R^{2\times 2}}$, kaj ${\displaystyle f}$ ne estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

Alia funkcio

${\displaystyle g:R\to R^{2\times 2}}$

${\displaystyle r\mapsto g(r)={\begin{bmatrix}r&0\\0&r\end{bmatrix}}}$

plenumas la unuajn du postulojn por ringa homomorfio, kaj ankaŭ

${\displaystyle g(1_{R})={\begin{bmatrix}1_{R}&0\\0&1_{R}\end{bmatrix}}=1_{R^{2\times 2}}}$

do ${\displaystyle g}$ estas homomorfio de unuohavaj ringoj.

• Eric W. Weisstein, Ring homomorphism en MathWorld.