|
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
|
Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa.
Näitä funktioita nimitetään myös ℘-funktioiksi, jossa ℘ on käsinkirjoitettu p (Unicode-merkki U+2118).
Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.
,
missä
ja
ovat funktion jaksot ja
. Usein merkitään
, jolloin
on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke
,
joka on selvästi pariton funktio, eli
. Myös
itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen,
.
Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön
.
Merkitsemällä
ja
nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys
.
-
- Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta
-
-
-