|
Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.
|
Weierstrassin elliptinen funktio meromorfinen funktio, joka on yksinkertaisin esimerkki elliptisestä funktiosta. Erotuksena Jacobin elliptisistä funktioista, Weierstrassin elliptisellä funktiolla on kussakin perussuunnikkaassaan vain yksi kaksinkertainen napa.
Näitä funktioita nimitetään myös ℘-funktioiksi, jossa ℘ on käsinkirjoitettu p (Unicode-merkki U+2118).
Funktio on nimetty saksalaisen matemaatikon, Karl Weierstrassin mukaan.
,
missä
ja
ovat funktion jaksot ja
. Usein merkitään
, jolloin
on funktion perussuunnikas. Funktion derivaatalle saadaan lauseke
,
joka on selvästi pariton funktio, eli
. Myös
itse on pariton. Koska Weierstrassin funktio on kaksijakoinen,
.
Weierstrassin elliptinen funktio toteuttaa differentiaaliyhtälön
.
Merkitsemällä
ja
nähdään, että tämä differentiaaliyhtälö on elliptinen käyrä. Yhtäpitävästi voidaan kirjoittaa myös integraaliesitys
.
![{\displaystyle \wp (z+y)={\frac {1}{4}}{\Big (}{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}{\Big )}^{2}-\wp (z)-\wp (y)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bae570cda959526cb91937b8a1f383b907296d9f)
- Argumentin kaksinkertaistuskaava saadaan helposti summakaavasta
![{\displaystyle \wp (2z)={\frac {1}{4}}{\Big (}{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}{\Big )}^{2}-2\wp (z)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd479e7e662ce5a188321777dc869c206c08826)
![{\displaystyle \wp (z)={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {1}{20}}g_{2}z^{2}+{\frac {1}{28}}g_{3}z^{4}+{\mathcal {O}}(z^{6})}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ec9cdf9dff5185ce3d48aa17622ed9eb9fae6c)
![{\displaystyle \wp '(z)=-{\frac {2}{z^{3}}}+{\frac {1}{10}}g_{2}z+{\frac {1}{7}}g_{3}z^{3}+{\mathcal {O}}(z^{5})}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/719d63637f52f5b66171200b56af6c02797f412c)