Prijeđi na sadržaj

Taylorov red

Izvor: Wikipedija
Aproksimacija eksponencijalne funkcije u ishodištu Taylorovim polinomima n-tog stupnja

U matematičkoj analizi Taylorov red ili Taylorov razvoj funkcije u nekoj točki zbroj je beskonačno mnogo n-tih potencija varijable množenih n-tim derivacijama funkcije izvrijednjenim toj točki.

Da bi se definirao Taylorov red funkcije ona mora biti klase na nekom intervalu , što znači da ima n-tu derivaciju za svaki prirodan broj i da su te derivacije neprekidne funkcije na . U točki intervala Taylorov red za funkciju glasi:[1]

Za Taylorov red se naziva Maclaurinov red. Gornji red može divergirati za svako ili konvergirati nekoj drugoj funkciji, pa su za definiciju funkcije potrebna dodatna ispitivanja derivacija .

Primjeri

[uredi | uredi kôd]

Taylorov razvoj izvor je mnogih razvoja funkcija u redove koji se upotrebljavaju za približni izračun ili za definiciju funkcija. Neki od Taylorovih redova za elementarne funkcije jesu:

Taylorov polinom

[uredi | uredi kôd]

Za približni izračun koristi se Taylorov polinom:[1]

gdje se funkcija

naziva n-ti ostatak funkcije i može se zapisati u Lagrangeovom integralnom obliku:

Kriterij konvergencije

[uredi | uredi kôd]

Konvergencija Taylorovog razvoja funkcije zavisi od brzine rasta derivacija u okolini točke . U vezi s tim može se pokazati sljedeći teorem:

Neka je realna funkcija klase definirana na intervalu . Ako postoji prirodan broj i realni pozitivni brojevi takvi da je

za svako iz intervala i za svako , tada Taylorov red konvergira k za svako za koje je

U tom slučaju je .

Izvori

[uredi | uredi kôd]
  1. a b Guljaš, Boris. 2018. Matematička analiza I & II (PDF) (skripta). str. 177

Literatura

[uredi | uredi kôd]
  • Kurepa, Svetozar. 1971. Matematička analiza 2, funkcije jedne varijable. Tehnička knjiga, Zagreb. str. 102–104