- Definizione
- Una funzione di variabile complessa è una funzione
![{\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf7afb92ef51e65b56026db7f84f7d0a95df0f2)
- dove ovviamente si comprendono come casi particolari le funzioni reali di variabile complessa.
- Osservazioni
- Risulta particolarmente utile sottolineare il legame tra
ed
, perché molte delle proprietà delle funzioni di variabile complessa diventano conseguenze dirette di quelle della funzioni in
.
Sia
una funzione biunivoca che mappa
in
, ad esempio
![{\displaystyle \Phi :z=x+iy\mapsto \mathbf {w} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4444e3e9b4fb530ce96cfa4e0447ab17269415)
- Possiamo scrivere ogni funzione di variabile complessa
![{\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5cf7afb92ef51e65b56026db7f84f7d0a95df0f2)
- come somma di due funzioni
![{\displaystyle f(z=x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a43c070c763237d657cd5e8bfe901baf6504ab2)
I limiti sono definiti in modo ovvio, rispetto alla distanza di ; scriviamo
-
I limiti ad infinito seguono sulla base della definizione di un intorno di come
-
-
-
- Teorema 1.2.2
- Considerando
-
-
-
- si ha che:
- e
- Teorema 1.2.3
- Se
- e
- allora
-
-
-
- per
- Definizione
- Anche la definizione di continuità ricalca quella per una funzione in un generico spazio metrico.
- Una funzione è continua in se
-
- sottointendendo che questa scrittura presupponga l'esistenza del limite e della funzione nel punto.
Una funzione si dice continua in un insieme se è continua per ogni punto di quell'insieme.
- Teorema 1.2.5
- Una funzione è continua se e solo se le sue componenti e sono continue.
- Teorema 1.2.6
- La funzione composta da due funzioni continue è continua.
- Teorema 1.2.7
- Una funzione continua su un insieme chiuso e limitato è limitata, e pertanto il suo modulo raggiunge il valore massimo per almeno un punto di .