- Definizione 1.1.1.
- Definiamo l'insieme dei numeri complessi
come l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali
con somma e prodotto definiti come
![{\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e32cca6a2b92045aae1acf43b1884e4df1a2a867)
![{\displaystyle (x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2})\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaa3faae47949c0ead808017e6dd57437453a00a)
È facile convincersi che con queste definizioni, l'insieme dei numeri complessi ha le proprietà algebriche di un campo . Inoltre, assimilando i numeri della forma
ai numeri reali, è possibile mostrare che ogni numero complesso si può scrivere come
![{\displaystyle (x,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e110907fbc5b10351d7f70254800dc5d108505a)
dove i = (0,1).
L'analogia tra
ed
(è immediato vedere che i due insiemi sono in corrispondenza biunivoca) suggerisce di rappresentare il campo complesso come l'insieme dei punti di un piano cartesiano. Dato un numero
![{\displaystyle z\in \mathbb {C} =x+iy=(x,y)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0582e03331901e740014ad7ce89f05b7ad2891ba)
definiamo:
![{\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3fcfb169c13babe58e60f75cbc06c185193dfa)
![{\displaystyle Re\,z=x=(z+{\bar {z}})/2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a4f19a58c24aa03e9599419173bb172174d4917)
![{\displaystyle Im\,z=y=(z-{\bar {z}})/2}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38424f699d54f1ee174927ad73547e08fcf53459)
![{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {z{\bar {z}}}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85376bfe69e7798a50cf495e9457c4e62200ef1)
Avendo rappresentato i numeri complessi su un piano cartesiano, si può ora passare ad una rappresentazione in coordinate polari.
Si può quindi scrivere
come
![{\displaystyle z=\rho (\cos \theta +i\sin \theta )\,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1319711231c415c83dcad7f13154906011b4443)
Evidentemente per z = 0 la forma polare è mal definita.
è il modulo di
e
l'argomento
, che è definito a meno di multipli interi di
.
Il valore principale dell'argomento è il valore scelto in
,
.
Definendo poi tramite la formula di Eulero
![{\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \!}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82242936b0233a953464f0eb98948be48487494c)
(relazione che sarà giustificata in seguito) avremo
![{\displaystyle z=\rho e^{i\theta }\!}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3918dbea2929f3c6657fde91969e4aab287a6954)
- Teorema 1.1.2
Le quantità sopra definite godono di una serie di proprietà algebriche: siano , con e . Avremo:
-
-
-
-
-
-
Inoltre si nota che soddisfa le definizioni di una distanza, e di conseguenza si può considerare
uno spazio metrico.