Estremo superiore e estremo inferiore

concetto matematico
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In matematica, l'estremo superiore di un insieme contenuto in un insieme ordinato è il più piccolo elemento dei maggioranti di .

In modo duale, l'estremo inferiore di è definito come il più grande elemento dei minoranti di .

Estremo superiore e inferiore possono appartenere ad oppure no. Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo. In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere "maggiore o uguale" di un altro elemento. Quindi il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati, per esempio sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali, ma non per esempio di numeri complessi.

Definizione

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Siano   un insieme totalmente ordinato,  . Se esiste un elemento   tale che:

  •   è un maggiorante di  
  •   tale che   è un maggiorante di   e   (cioè il maggiorante più piccolo è   stesso)

si dice che   è estremo superiore di  , in simboli  .

Se invece esiste un elemento   tale che:

  •   è un minorante di  
  •   tale che   è un minorante di   e   (cioè il minorante più grande è   stesso)

si dice che   è estremo inferiore di  , in simboli  . Se l'insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l'insieme si dice limitato superiormente, mentre se l'insieme dei minoranti è non vuoto l'insieme si dice limitato inferiormente. Ovviamente, se esiste l'estremo inferiore, allora l'insieme è limitato inferiormente, mentre se esiste l'estremo superiore l'insieme è limitato superiormente. Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Sottoinsiemi della retta reale

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Se si considera un insieme   della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore. Ciò è garantito dall'assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di   è completo e dalla convenzione che, se   non è limitato superiormente (inferiormente) in  , si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito:   e/o  .

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell'insieme dei numeri reali.

  •  

In questo caso l'estremo superiore coincide col massimo. Si ha che   è l'estremo superiore perché è un maggiorante dell'insieme e ogni numero reale minore di   non è maggiorante dell'insieme;

  •  

L'insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo, infatti   non appartiene all'insieme;

  •  

L'insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

  •  

anche in questo caso l'estremo inferiore non appartiene all'insieme e l'insieme non ha minimo. Si noti che l'estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona   per  

  •  

l'estremo superiore coincide con il massimo;

  •  

come prima ma l'insieme non ha massimo;

  •  

in quest'ultimo caso l'insieme è limitato superiormente ma l'estremo superiore non coincide con il massimo, poiché l'insieme non ha massimo.

Completezza ed esistenza

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Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore. Per esempio, sia   definito come:

 

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se   e  ,   è maggiorante di  . L'insieme però non ha estremo superiore (  non appartiene a  ). Si noti che questo esempio è diverso dall'ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l'estremo superiore in un insieme completo,  , ora no. Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

Notazioni

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Spesso si incontrano notazioni del tipo:

 

dove   è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e   è un sottoinsieme del suo dominio. Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

 

indica cioè l'estremo inferiore dell'immagine di   mediante  .

Un primo esempio è

 

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

 

e anche:

 

in questo caso però   non è il minimo dell'insieme, in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi sono:

 

Funzioni monotone

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Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite. Sia   una funzione monotona in  . Allora esistono:

 

e si ha (nel caso sia   non decrescente):

  e  

con risultati speculari se   è invece non crescente.

Bibliografia

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  • Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1.

Voci correlate

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Collegamenti esterni

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