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In matematica, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ rappresenta un esempio elementare di una serie geometrica che converge assolutamente. La sua somma vale
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}={\frac {\frac {1}{2}}{1-{\frac {1}{2}}}}=1.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cebfa2566a48cc37bd49453ef0e092dec7e737ea)
La somma
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be2389576944ffdc7f40acf3a7fedcfd7a824766)
è definibile come
![{\displaystyle s_{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n}}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcfdf8c768f01ee68d1b15cbd07ea8adcd323ff9)
per n che tende a infinito. Moltiplicando
per 2 si perviene alla relazione:
![{\displaystyle 2s_{n}={\frac {2}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {2}{8}}+{\frac {2}{16}}+\cdots +{\frac {2}{2^{n}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-1}}}=1+s_{n}-{\frac {1}{2^{n}}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c758054dc8527d448159c38dd716da51773aec8)
e sottraendo
da ambo i membri
![{\displaystyle s_{n}=1-{\frac {1}{2^{n}}}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2dee455bdf6a47c6b162e890d907d4ca581a35f)
quindi, per n che tende a infinito,
tende a 1.