Daripada Wikipedia, ensiklopedia bebas.
Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.
Secara formal, gelanggang ialah suatu set
, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah,
dan darab,
(di mana
adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:
adalah kumpulan Abel terhadap penambahan:
- Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap
,
dalam
,
juga dalam
.
- Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap
,
,
dalam
,
.
- Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam
, di mana bagi setiap unsur
dalam
,
.
- Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap
dalam
, wujud unsur
dalam
di mana
.
- Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap
,
dalam
,
.
adalah monoid terhadap pendaraban:
- Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap
,
in
,
juga dalam
.
- Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap
,
,
dalam
,
.
- Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam
, di mana bagi setiap unsur
dalam
,
.
- Hukum-hukum kalis agihan:
- Bagi setiap
,
,
dalam
,
.
- Bagi setiap
,
,
dalam
,
.