O teorema de Ehrenfest, nomeado a partir de Paul Ehrenfest, físico e matemático austríaco, relaciona a derivada do tempo do valor esperado para um operador na mecânica quântica para o comutador deste operador com o hamiltoniano do sistema. Isto é:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5f67643fee01a0f8dd8e23091b062a2cb574f3)
onde A é algum operador da mecânica quântica e
é seu valor esperado.
O Teorema de Ehrenfest é obviamente a Representação de Heisenberg da mecânica quântica, onde isto é apenas o valor esperado do momento da Equação de Heisenberg.
O teorema também é altamente relacionado com o Teorema de Liouville da mecânica hamiltoniana, que envolve os Parênteses de Poisson ao invés do comutador.
Suponha que o sistema seja apresentado em um estado quântico
. Se nós quisermos saber a derivada do tempo instantânea do valor esperado de A, que é, por definição:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {d}{dt}}\int \Phi ^{*}A\Phi ~dx^{3}=\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)\Phi ~dx^{3}+\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c306675a8679fb4637bd632163e4dbbeba95ae11)
![{\displaystyle =\int \left({\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}\right)A\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle +\int \Phi ^{*}A\left({\frac {\partial \Phi }{\partial t}}\right)~dx^{3},}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c24cfdbe40401514c08946b90c6626864336ffa)
onde nós temos integrando por todo espaço. Se nós aplicarmos a Equação de Schrödinger, encontraremos isto:
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}H\Phi }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4caab1801affa3edfd06a799727e6cb8e28534a)
e isto:
![{\displaystyle {\frac {\partial \Phi ^{*}}{\partial t}}={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H^{\dagger }={\frac {-1}{i\hbar }}\Phi ^{*}H.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e74a7c90c91db724e6cc82e80ec79ddb6bb306b)
Perceba que
porque o Hamiltoniano é um operador autoadjunto. Colocando isto na equação acima nós obteremos:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\int \Phi ^{*}(AH-HA)\Phi ~dx^{3}+\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [A,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial A}{\partial t}}\right\rangle .}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ae406dfd41742a9746bc51256667453ef508307)
Diversas vezes (mas não sempre) o operador A é independente do tempo, então sua derivada será zero e nós poderemos ignorar o último termo da equação.
Pelo exemplo mais geral possível de uma partícula de grande massa se movendo em um vetor potencial, o Hamiltoniano é simplesmente:
onde
é simplesmente a localização da partícula. Suponha que nós quiséssemos saber a mudança instantânea do momento
. Utilizando o teorema de Ehrenfest, teremos:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial p}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [p,V(x,t)]\rangle }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50f5a8e13e636d093822b1014d6524e12c506c31)
já que o operador
comuta com ele mesmo e não obtém dependência com o tempo. Expandindo o lado direito da equação, substituindo p por
, nós obteremos:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}\nabla (V(x,t)\Phi )~dx^{3}.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cad49616d73d912c20a557780aead5cef745cd4f)
Após adicionar a regra do produto ao segundo termo, teremos:
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle p\rangle =\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}-\int \Phi ^{*}V(x,t)\nabla \Phi ~dx^{3}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05e638926f42105d49734d609e960443db8bf1c3)
![{\displaystyle =-\int \Phi ^{*}(\nabla V(x,t))\Phi ~dx^{3}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a251ed2fa9f640733e730696192e78db809b95c5)
![{\displaystyle =\langle -\nabla V(x,t)\rangle =\langle F\rangle ,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d1c0d7d2f8935ff68defb37167d2c55129e317e)
mas nós reconheceremos isto como a segunda lei de Newton.
Similarmente nós poderemos obter a mudança de posição instantânea do valor esperado.
![{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle x\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,H]\rangle +\left\langle {\frac {\partial x}{\partial t}}\right\rangle =}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8515dbd77ea1cfebfabe8f1cdd128ff90ec3d8a4)
![{\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle +0={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}]\rangle =}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69fd5fee003e095228e7117213e208c2a002d93c)
![{\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle [x,{\frac {p^{2}}{2m}}+V(x,t)]\rangle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle [x,p]{\frac {d}{dp}}p^{2}\rangle =}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae860f420bccb970bd711d710a5854dd76d7a911)
![{\displaystyle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\langle i\hbar 2p\rangle ={\frac {1}{m}}\langle p\rangle }](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7325b246e8bada78adfb63e8d2396a7ea60e55d0)
Este resultado é novamente em acordo com a equação clássica.