Ortogonalgrupp

Den n-dimensionella ortogonalgruppen över de reella talen är en grupp ${\displaystyle (O(n),\circ )}$  där

• mängden ${\displaystyle O(n)\,}$  är definierad som:

${\displaystyle O(n):=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ g(x)\cdot g(y)=x\cdot y\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},}$ 

dvs funktioner ${\displaystyle g\in O(n)}$  bevarar skalärprodukten och

• gruppoperationen ${\displaystyle \circ :O(n)\times O(n)\rightarrow O(n)}$  är definierad som:

${\displaystyle (f\circ g)(x):=f(g(x))}$  för alla ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$  och ${\displaystyle f,g\in O(n)}$ ,

dvs gruppoperationen är sammansättning.

Man kan konstruera ortogonalgrupper över vilken kropp som helst, exempelvis de reella talen, komplexa talen och ändliga kroppar.

Det finns många likvärdiga definitioner för ortogonalgruppen.

Mängden ${\displaystyle O(n)\,}$  kan också ses som alla linjär isometrier ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ . Mer precist,

${\displaystyle O(n)=\{g:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\ {\mbox{linjär}}\ |\ |g(x)-g(y)|=|x-y|\ {\mbox{för alla}}\ x,y\in \mathbb {R} ^{n}\},}$ 

dvs funktioner ${\displaystyle g\in O(n)}$  bevarar avstånden.

Eftersom det finns en bijektionen mellan alla linjära avbildningar ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$  och matriser av storlek ${\displaystyle n\times n}$  så kan man se mängden ${\displaystyle O(n)\,}$  som alla ortogonalmatriser av storlek ${\displaystyle n\times n}$ . Mer precist,

${\displaystyle O(n)=\{A\in \mathbb {R} ^{n\times n}:A^{T}A=AA^{T}=I\}\,}$ 

då gruppoperationen är matrismultiplikation.

Alla matriser i ${\displaystyle A\in O(n)\,}$  har egenskapen att

${\displaystyle \det A=\pm 1}$ 

Om man tar alla matriser ${\displaystyle A\in O(n)\,}$  med

${\displaystyle \det A=1\,}$ 

får man en normal undergrupp som kallas den speciella ortogonalgruppen, betecknad ${\displaystyle SO(n)\,}$ .

Ortogonalgruppen har några egenskaper.

Ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp eftersom det är ett metriskt rum vars topologi är lokalt kompakt. Metriken är

${\displaystyle d(f,g):=\sup _{|x|=1}|f(x)-g(x)|\,}$ 

för alla ${\displaystyle f,g\in O(n).\,}$ 

Eftersom ortogonalgruppen är en lokalt kompakt topologisk grupp finns ett unikt Haarmått i O(n) som ofta betecknas

${\displaystyle \theta _{n}:{\mbox{Bor}}\,O(n)\rightarrow [0,\infty ],}$ 

där ${\displaystyle {\mbox{Bor}}\,O(n)}$  är Borelalgebran i ortogonalgruppen O(n). Det här måttet kallas ofta ett vridningsinvariant mått.

• Linjär algebra
• Grassmannmångfald
• Måtteori

• Mattila, P. "Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability", Cambridge University Press, 1995.