Das Kriterium von Bertrand oder das Bertrandsche Kriterium ist ein mathematisches Konvergenzkriterium zur Bestimmung der (absoluten) Konvergenz sowie Divergenz unendlicher Reihen, das nach dem französischen Mathematiker Joseph Bertrand (1822–1900) benannt ist.
Sei
eine positive reelle Folge und
die zugehörige Reihe. Die Folge
mit:
![{\displaystyle B_{n}:=\ln(n)\left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcb2b3a600efb46d627fbd2bf4cd61bb4da82c47)
habe den endlichen oder unendlichen (respektive uneigentlichen) Grenzwert
:
.
Dann gilt für die Reihe:
ist
.
Sei
mit
. Die Reihe
divergiert aufgrund des Integralkriteriums. Setzen wir
, so gilt
und
ist monoton fallend und
für
und
. Des Weiteren ist:
.
Setze nun:
.
Mit der Stetigkeit des Logarithmus und dem bekannten Grenzwert
folgt für
:
,
wobei
und
gilt.
erfüllt nun nach Konstruktion die Bedingungen des Kriteriums von Kummer. Aus Letzterem folgt für
:
.[1]
- ↑ Markus Oster, Nicolai Lang; Christian Barth: Lösungen zum Arbeitsblatt I. (PDF; 155 kB) Vorlesung Analysis II (SoSe 2009). 25. Oktober 2009, S. 7/28 S., abgerufen am 23. Dezember 2012.