Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Kryterium Bertranda – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.
Niech dany będzie szereg liczbowy
| | ![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf33b91e1eb05d0530e73e355823f3c07821381) |
|
(A) |
o wyrazach dodatnich. Niech
![{\displaystyle B_{n}={\bigg (}n\cdot {\Big (}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1{\Big )}-1{\bigg )}\cdot \ln n.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acbd73743b558db98366dd5ef470cbe4014c8a94)
Wówczas
- szereg (A) jest zbieżny, gdy
![{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }B_{n}>1;}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/124d3475f184119680a3574ad17d60b01fde0f61)
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
[1][2].
Kryterium Bertranda można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg
jest zbieżny do pewnego
to
- szereg (A) jest zbieżny, gdy
oraz
- szereg (A) jest rozbieżny, gdy
![{\displaystyle B<1.}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a35749ffdd2f038edfb21fc04e88676217d298eb)
W przypadku, gdy
kryterium nie rozstrzyga.
Dowód w oparciu o kryterium Kummera[edytuj | edytuj kod]
Osobny artykuł: kryterium Kummera.
Niech
![{\displaystyle c_{n}=n\cdot \ln n\quad (n\in \mathbb {N} ).}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4564711037f75e4e7642ba4fce569932f2e1d7b)
Ponieważ szereg
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62f52d9fa841c79190344670cc0544fe00bf618b)
jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego[3]), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku
![{\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}&=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln n-\ln n\\&=\ln n\cdot \left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}.\end{aligned}}}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf469cc496a37be715a2d4d15cd2cbc1dc55e98d)
Ponieważ
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln {\Big (}1+{\tfrac {1}{n}}{\Big )}^{n+1}=1,}](https://cdn.statically.io/img/wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cbe334f709a4d4eb36884582686f0e1966f838e)
teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium Kummera[2][4].